номер 312, страница 113, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

312. Цена марки $45$ тг. У Насти имеются монеты только достоинством $20$ тг. Какое наименьшее число марок может купить Настя, если у продавца нет сдачи?

Пусть N — искомое наименьшее число марок, а M — количество монет достоинством 20 тг, которое Настя использует для оплаты.

Стоимость одной марки равна 45 тг. Следовательно, общая стоимость N марок составляет $45 \cdot N$ тг.

Настя платит монетами достоинством 20 тг. Общая сумма, которую она отдаёт продавцу, равна $20 \cdot M$ тг.

По условию, у продавца нет сдачи. Это означает, что общая стоимость марок должна быть в точности равна сумме, которую платит Настя. Мы можем составить уравнение: $45 \cdot N = 20 \cdot M$

Нам необходимо найти наименьшее натуральное значение N, при котором это уравнение имеет решение в целых числах M. Другими словами, нам нужно найти наименьшее число марок, общая стоимость которых может быть оплачена без сдачи монетами по 20 тг.

Общая стоимость покупки должна быть кратна и 45, и 20. Мы ищем наименьшее такое число, то есть наименьшее общее кратное (НОК) чисел 45 и 20.

Для нахождения НОК(45, 20) сначала найдем их наибольший общий делитель (НОД). Разложим числа на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$ $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$ НОД(45, 20) = 5.

Теперь вычислим НОК по формуле: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$ $НОК(45, 20) = \frac{45 \cdot 20}{5} = 45 \cdot 4 = 180$.

Таким образом, наименьшая сумма, которую можно заплатить без сдачи, составляет 180 тг.

Теперь найдем, сколько марок можно купить на эту сумму. Для этого разделим общую стоимость на цену одной марки: $N = \frac{180}{45} = 4$.

Значит, наименьшее число марок, которое может купить Настя, — это 4. При этом она заплатит $4 \cdot 45 = 180$ тг, отдав $180 / 20 = 9$ монет.

Ответ: 4.