номер 304, страница 112, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

304. Запишите пару взаимно простых чисел, для которых число:

1) $69$ будет наименьшим общим кратным;

2) $85$ будет наименьшим общим кратным.

1) Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Важным свойством таких чисел является то, что их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению. Формула, связывающая НОК и НОД двух чисел `a` и `b`, выглядит так:

$\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}$

Поскольку для взаимно простых чисел $\text{НОД}(a, b) = 1$, формула упрощается до:

$\text{НОК}(a, b) = a \cdot b$

По условию, $\text{НОК}(a, b) = 69$. Следовательно, нам нужно найти два взаимно простых числа, произведение которых равно 69. Для этого разложим число 69 на простые множители:

$69 = 3 \cdot 23$

Числа 3 и 23 являются простыми, а значит, их единственный общий делитель — это 1. Таким образом, они взаимно простые. Их произведение равно 69, следовательно, их НОК также равен 69. Пара (3, 23) является решением.

Также можно было выбрать пару (1, 69). Числа 1 и 69 взаимно простые ($\text{НОД}(1, 69) = 1$), и их НОК равно 69.

Ответ: 3 и 23.

2) Действуем аналогично первому пункту. Нам нужно найти пару взаимно простых чисел, произведение которых равно 85, так как это будет их наименьшим общим кратным.

Разложим число 85 на простые множители:

$85 = 5 \cdot 17$

Числа 5 и 17 — простые, а значит, и взаимно простые. Их произведение равно 85. Проверим:

$\text{НОК}(5, 17) = \frac{5 \cdot 17}{\text{НОД}(5, 17)} = \frac{85}{1} = 85$

Следовательно, пара (5, 17) удовлетворяет условию задачи.

Другим возможным решением является пара (1, 85).

Ответ: 5 и 17.