номер 495, страница 168, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

495. Сократите дроби и сравните их. Результат сравнения запишите с помощью знаков >, < или =:

1) $\frac{115}{223}$ и $\frac{115115}{223223}$;

2) $\frac{117117}{219219}$ и $\frac{205205}{365365}$;

3) $\frac{224224}{234234}$ и $\frac{560560}{605605}$.

Для решения задачи необходимо сократить дроби и затем сравнить их.

1) Сравним дроби $\frac{115}{223}$ и $\frac{115115}{223223}$.

Рассмотрим вторую дробь. Заметим, что числа, записанные в виде $abcabc$, можно представить как произведение $abc \times 1001$.

Числитель: $115115 = 115 \times 1001$.

Знаменатель: $223223 = 223 \times 1001$.

Сократим вторую дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель 1001:

$\frac{115115}{223223} = \frac{115 \times 1001}{223 \times 1001} = \frac{115}{223}$

Теперь сравним первую дробь с сокращенной второй:

$\frac{115}{223} = \frac{115}{223}$

Ответ: $\frac{115}{223} = \frac{115115}{223223}$.

2) Сравним дроби $\frac{117117}{219219}$ и $\frac{205205}{365365}$.

Сначала сократим обе дроби, используя свойство чисел вида $abcabc = abc \times 1001$.

Первая дробь: $\frac{117117}{219219} = \frac{117 \times 1001}{219 \times 1001} = \frac{117}{219}$.

Далее сократим дробь $\frac{117}{219}$. Сумма цифр числителя $1+1+7=9$ и сумма цифр знаменателя $2+1+9=12$. Оба числа делятся на 3.

$\frac{117}{219} = \frac{117 \div 3}{219 \div 3} = \frac{39}{73}$.

Вторая дробь: $\frac{205205}{365365} = \frac{205 \times 1001}{365 \times 1001} = \frac{205}{365}$.

Далее сократим дробь $\frac{205}{365}$. Оба числа оканчиваются на 5, следовательно, делятся на 5.

$\frac{205}{365} = \frac{205 \div 5}{365 \div 5} = \frac{41}{73}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{39}{73}$ и $\frac{41}{73}$. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители. Поскольку $39 < 41$, то и $\frac{39}{73} < \frac{41}{73}$.

Ответ: $\frac{117117}{219219} < \frac{205205}{365365}$.

3) Сравним дроби $\frac{224224}{234234}$ и $\frac{560560}{605605}$.

Сначала сократим обе дроби.

Первая дробь: $\frac{224224}{234234} = \frac{224 \times 1001}{234 \times 1001} = \frac{224}{234}$.

Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому сократим дробь на 2:

$\frac{224}{234} = \frac{224 \div 2}{234 \div 2} = \frac{112}{117}$.

Вторая дробь: $\frac{560560}{605605} = \frac{560 \times 1001}{605 \times 1001} = \frac{560}{605}$.

Числитель и знаменатель делятся на 5, сократим дробь на 5:

$\frac{560}{605} = \frac{560 \div 5}{605 \div 5} = \frac{112}{121}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{112}{117}$ и $\frac{112}{121}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Сравниваем знаменатели: $117 < 121$.

Следовательно, $\frac{112}{117} > \frac{112}{121}$.

Ответ: $\frac{224224}{234234} > \frac{560560}{605605}$.