номер 511, страница 174, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

511. Найдите сумму дробей, знаменатели которых являются взаимно простыми числами:

1) $\frac{1}{3} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{15};$

2) $\frac{1}{*} + \frac{1}{9} = \frac{*+*}{45};$

3) $\frac{1}{7} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{28};$

4) $\frac{1}{*} + \frac{1}{8} = \frac{*+*}{24};$

5) $\frac{1}{3} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{6};$

6) $\frac{1}{*} + \frac{1}{7} = \frac{*+*}{42}.$

1) В выражении $\frac{1}{3} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{15}$ необходимо найти недостающие числа и вычислить сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$. Тогда мы имеем сумму дробей $\frac{1}{3} + \frac{1}{x}$.

По условию задачи, знаменатели дробей являются взаимно простыми числами. Общий знаменатель при сложении таких дробей равен их произведению. В данном примере общий знаменатель равен $15$.

Так как один из знаменателей равен $\text{3}$, то для нахождения второго знаменателя $\text{x}$ составим уравнение: $3 \times x = 15$. Решая его, получаем $x = \frac{15}{3} = 5$.

Числа $\text{3}$ и $\text{5}$ являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен $\text{1}$.

Теперь находим сумму: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} + \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5+3}{15} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$.

2) В выражении $\frac{1}{*} + \frac{1}{9} = \frac{*+*}{45}$ найдем неизвестный знаменатель и сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$.

Знаменатели $\text{x}$ и $\text{9}$ взаимно простые, а их произведение равно общему знаменателю $45$.

Составим уравнение: $x \times 9 = 45$. Отсюда $x = \frac{45}{9} = 5$.

Числа $\text{5}$ и $\text{9}$ взаимно простые (их наибольший общий делитель равен $\text{1}$).

Вычислим сумму: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} = \frac{1 \times 9}{5 \times 9} + \frac{1 \times 5}{9 \times 5} = \frac{9}{45} + \frac{5}{45} = \frac{9+5}{45} = \frac{14}{45}$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} = \frac{14}{45}$.

3) В выражении $\frac{1}{7} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{28}$ найдем неизвестный знаменатель и сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$.

Знаменатели $\text{7}$ и $\text{x}$ взаимно простые, их произведение равно общему знаменателю $28$.

Составим уравнение: $7 \times x = 28$. Отсюда $x = \frac{28}{7} = 4$.

Числа $\text{7}$ и $\text{4}$ взаимно простые (их наибольший общий делитель равен $\text{1}$).

Вычислим сумму: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4}{7 \times 4} + \frac{1 \times 7}{4 \times 7} = \frac{4}{28} + \frac{7}{28} = \frac{4+7}{28} = \frac{11}{28}$.

Ответ: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{11}{28}$.

4) В выражении $\frac{1}{*} + \frac{1}{8} = \frac{*+*}{24}$ найдем неизвестный знаменатель и сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$.

Знаменатели $\text{x}$ и $\text{8}$ взаимно простые, их произведение равно общему знаменателю $24$.

Составим уравнение: $x \times 8 = 24$. Отсюда $x = \frac{24}{8} = 3$.

Числа $\text{3}$ и $\text{8}$ взаимно простые (их наибольший общий делитель равен $\text{1}$).

Вычислим сумму: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{1 \times 8}{3 \times 8} + \frac{1 \times 3}{8 \times 3} = \frac{8}{24} + \frac{3}{24} = \frac{8+3}{24} = \frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{11}{24}$.

5) В выражении $\frac{1}{3} + \frac{1}{*} = \frac{*+*}{6}$ найдем неизвестный знаменатель и сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$.

Знаменатели $\text{3}$ и $\text{x}$ взаимно простые, их произведение равно общему знаменателю $\text{6}$.

Составим уравнение: $3 \times x = 6$. Отсюда $x = \frac{6}{3} = 2$.

Числа $\text{3}$ и $\text{2}$ взаимно простые (их наибольший общий делитель равен $\text{1}$).

Вычислим сумму: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.

6) В выражении $\frac{1}{*} + \frac{1}{7} = \frac{*+*}{42}$ найдем неизвестный знаменатель и сумму. Пусть неизвестный знаменатель равен $\text{x}$.

Знаменатели $\text{x}$ и $\text{7}$ взаимно простые, их произведение равно общему знаменателю $42$.

Составим уравнение: $x \times 7 = 42$. Отсюда $x = \frac{42}{7} = 6$.

Числа $\text{6}$ и $\text{7}$ взаимно простые (их наибольший общий делитель равен $\text{1}$).

Вычислим сумму: $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{6 \times 7} + \frac{1 \times 6}{7 \times 6} = \frac{7}{42} + \frac{6}{42} = \frac{7+6}{42} = \frac{13}{42}$.

Ответ: $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{13}{42}$.