номер 515, страница 174, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

515. В наш город прибыли туристы. Из них $ \frac{4}{5} $ знают английский язык, $ \frac{1}{3} $ – немецкий. Какая часть туристов знает и английский, и немецкий языки?

Пусть всё множество туристов — это 1 (единица). Доля туристов, знающих английский язык, составляет $ \frac{4}{5} $, а доля туристов, знающих немецкий язык, — $ \frac{1}{3} $.

Для нахождения доли туристов, владеющих обоими языками, можно использовать принцип включений-исключений. Если мы просто сложим доли знающих английский и знающих немецкий, то те, кто владеет обоими языками, будут посчитаны дважды. Сумма долей не может превышать 1 (всех туристов), если бы не было пересечения. Избыток над единицей как раз и составляет долю туристов, знающих оба языка. Это основано на предположении, что каждый турист знает хотя бы один из этих языков, что является стандартным для задач такого типа.

1. Сначала сложим данные доли:

$ \frac{4}{5} + \frac{1}{3} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 — это 15.

$ \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{12}{15} + \frac{5}{15} $

3. Выполним сложение:

$ \frac{12}{15} + \frac{5}{15} = \frac{12 + 5}{15} = \frac{17}{15} $

4. Полученная сумма $ \frac{17}{15} $ больше 1 (или $ \frac{15}{15} $). Эта разница и есть искомая доля туристов, которые знают оба языка.

$ \frac{17}{15} - 1 = \frac{17}{15} - \frac{15}{15} = \frac{2}{15} $

Таким образом, $ \frac{2}{15} $ всех туристов знают и английский, и немецкий языки.

Ответ: $ \frac{2}{15} $.