номер 519, страница 175, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

519. Нарисуйте в тетрадь граф, состоящий из четырех пересекающихся окружностей (рис. 3.33), одним росчерком.

Рис. 3.33

Заданную задачу можно решить, используя принципы теории графов, в частности, теорему Эйлера о возможности начертить граф одним росcherком.

Согласно этой теореме, связный граф можно нарисовать одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждому ребру ровно один раз) тогда и только тогда, когда он содержит не более двух вершин нечетной степени. Если в графе нет вершин нечетной степени, то его можно нарисовать, начав и закончив в одной и той же точке. Такие пути называют Эйлеровыми циклами.

Рассмотрим фигуру из четырех пересекающихся окружностей как граф. В этом графе вершинами являются точки пересечения окружностей, а ребрами — дуги окружностей, соединяющие эти точки.

Степенью вершины в теории графов называют количество ребер, которые в ней сходятся. Чтобы можно было нарисовать граф одним росчерком, в нем должно быть ноль или две вершины с нечетной степенью.

Предположим, мы расположили четыре окружности так, что в каждой точке пересекаются только две окружности. Это самый распространенный случай, который можно легко нарисовать (например, расположив центры окружностей в вершинах квадрата и выбрав подходящие радиусы, или как на рисунке 3.33, добавив четвертую окружность в центр). В каждой такой точке пересечения будут сходиться четыре дуги (ребра): по две дуги от каждой из двух пересекающихся окружностей.

Таким образом, степень каждой вершины в таком графе равна $\text{4}$. Число $\text{4}$ является четным. Поскольку все вершины графа имеют четную степень, то по теореме Эйлера такой граф можно нарисовать одним росчерком, при этом путь начнется и закончится в одной и той же точке.

Следовательно, нарисовать граф, состоящий из четырех пересекающихся окружностей, одним росчерком возможно. Конкретный порядок рисования дуг не так важен, как само понимание того, что это возможно. Можно начать с любой точки на любой из окружностей и двигаться по дугам, переходя с одной окружности на другую в точках пересечения, пока все дуги не будут нарисованы.

Ответ: Да, нарисовать такой граф одним росчерком возможно. Это следует из того, что фигуру можно представить как граф, в котором все вершины (точки пересечения окружностей) имеют четную степень. В каждой точке пересечения двух окружностей сходится 4 дуги, а 4 — четное число. Граф, у которого все вершины имеют четную степень, можно начертить одним непрерывным росчерком.