номер 525, страница 176, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

525. Докажите:

1) $\frac{4444 \cdot 4444}{1+2+3+4+3+2+1} - \frac{5555 \cdot 5555}{1+2+3+4+5+4+3+2+1} = 0;$

2) $\frac{22222 \cdot 22222}{1+2+3+4+3+2+1} - \frac{333333 \cdot 333333}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1} = 0.$

1) Чтобы доказать равенство, необходимо показать, что уменьшаемое и вычитаемое равны, то есть $ \frac{4444 \cdot 4444}{1+2+3+4+3+2+1} = \frac{5555 \cdot 5555}{1+2+3+4+5+4+3+2+1} $.

Рассмотрим левую часть выражения, дробь $ \frac{4444 \cdot 4444}{1+2+3+4+3+2+1} $.

Знаменатель представляет собой сумму $ 1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1 $, которая вычисляется по формуле $ n^2 $. В данном случае $ n=4 $, поэтому знаменатель равен $ 1+2+3+4+3+2+1 = 4^2 = 16 $.

Числитель равен $ 4444 \cdot 4444 = 4444^2 $. Вынесем общий множитель 4: $ 4444 = 4 \cdot 1111 $.

Тогда числитель можно представить как $ (4 \cdot 1111)^2 = 4^2 \cdot 1111^2 = 16 \cdot 1111^2 $.

Следовательно, значение первой дроби равно $ \frac{16 \cdot 1111^2}{16} = 1111^2 $.

Теперь рассмотрим правую часть, дробь $ \frac{5555 \cdot 5555}{1+2+3+4+5+4+3+2+1} $.

Ее знаменатель, по той же логике, с $ n=5 $, равен $ 1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 5^2 = 25 $.

Числитель равен $ 5555 \cdot 5555 = 5555^2 = (5 \cdot 1111)^2 = 5^2 \cdot 1111^2 = 25 \cdot 1111^2 $.

Значение второй дроби равно $ \frac{25 \cdot 1111^2}{25} = 1111^2 $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид $ 1111^2 - 1111^2 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Аналогично первому пункту, докажем, что уменьшаемое и вычитаемое равны.

Рассмотрим первую дробь: $ \frac{22222 \cdot 22222}{1+2+3+4+3+2+1} $.

Знаменатель, как мы уже выяснили, равен $ 1+2+3+4+3+2+1 = 4^2 = 16 $.

Числитель равен $ 22222 \cdot 22222 = 22222^2 = (2 \cdot 11111)^2 = 2^2 \cdot 11111^2 = 4 \cdot 11111^2 $.

Значение первой дроби: $ \frac{4 \cdot 11111^2}{16} = \frac{11111^2}{4} $.

Рассмотрим вторую дробь: $ \frac{33333 \cdot 33333}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1} $.

Знаменатель этой дроби является суммой, где максимальное число $ n=6 $, поэтому он равен $ 6^2 = 36 $. Проверим: $ 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36 $.

Числитель равен $ 33333 \cdot 33333 = 33333^2 = (3 \cdot 11111)^2 = 3^2 \cdot 11111^2 = 9 \cdot 11111^2 $.

Значение второй дроби: $ \frac{9 \cdot 11111^2}{36} = \frac{11111^2}{4} $.

Обе дроби равны $ \frac{11111^2}{4} $, следовательно, их разность равна нулю: $ \frac{11111^2}{4} - \frac{11111^2}{4} = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.