номер 520, страница 175, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

520. Найдите частное, подставив вместо рамочки пропущенную цифру:

1) $(210\square5 + 4312\square + 103\square25) \div 15;$

2) $(27013\square + 94\square125 + 1\square2165) \div 45.$

1) Чтобы найти частное, нужно сначала найти пропущенную цифру. Обозначим эту цифру через $\text{x}$. Тогда выражение примет вид:

$(210x5 + 4312x + 103x25) : 15$

Сумма в скобках должна делиться на 15. Число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5.

Признак делимости на 5:

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Найдем последнюю цифру суммы $S = 210x5 + 4312x + 103x25$.

Последняя цифра числа $210x5$ равна 5.

Последняя цифра числа $4312x$ равна $\text{x}$.

Последняя цифра числа $103x25$ равна 5.

Последняя цифра суммы $\text{S}$ — это последняя цифра суммы $5 + x + 5 = 10 + x$. Таким образом, последняя цифра суммы $\text{S}$ совпадает с цифрой $\text{x}$.

Следовательно, для делимости на 5, цифра $\text{x}$ должна быть 0 или 5.

Признак делимости на 3:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим делимость суммы $\text{S}$ на 3. Сумма $\text{S}$ делится на 3, если остаток от её деления на 3 равен нулю.

Представим числа в виде алгебраической суммы:

$S = (21005 + 10x) + (43120 + x) + (103025 + 100x)$

$S = (21005 + 43120 + 103025) + (10x + x + 100x)$

$S = 167150 + 111x$

Проверим каждое слагаемое на делимость на 3:

Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, значит, 111 делится на 3. Следовательно, $111x$ делится на 3 при любом значении $\text{x}$.

Сумма цифр числа 167150 равна $1+6+7+1+5+0=20$. Число 20 не делится на 3 ($20 = 3 \cdot 6 + 2$). Значит, 167150 не делится на 3, а даёт в остатке 2.

Таким образом, сумма $\text{S}$ состоит из слагаемого, которое делится на 3 ($111x$), и слагаемого, которое даёт остаток 2 при делении на 3 (167150). Вся сумма $\text{S}$ при делении на 3 будет давать остаток 2.

Поскольку сумма $\text{S}$ никогда не делится на 3, она не может делиться и на 15. Это означает, что в условии задачи, вероятно, содержится ошибка, и подобрать такую цифру, чтобы выполнить деление нацело, невозможно.

Ответ: такой цифры не существует, поэтому найти частное невозможно.

2)

Обозначим пропущенную цифру через $\text{x}$. Тогда выражение примет вид:

$(27013x + 94x125 + 1x2165) : 45$

Сумма в скобках $S = 27013x + 94x125 + 1x2165$ должна делиться на 45. Число делится на 45, если оно делится одновременно на 5 и на 9.

Признак делимости на 5:

Последняя цифра суммы $\text{S}$ — это последняя цифра от сложения последних цифр слагаемых: $x + 5 + 5 = x + 10$. Последняя цифра этого выражения — это $\text{x}$. Для делимости на 5, $\text{x}$ должен быть 0 или 5.

Признак делимости на 9:

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим, будет ли сумма $\text{S}$ делиться на 9. Число при делении на 9 даёт такой же остаток, как и сумма его цифр.

Найдём сумму цифр для каждого слагаемого:

Сумма цифр $27013x$: $2+7+0+1+3+x = 13+x$.

Сумма цифр $94x125$: $9+4+x+1+2+5 = 21+x$.

Сумма цифр $1x2165$: $1+x+2+1+6+5 = 15+x$.

Сумма $\text{S}$ будет делиться на 9, если сумма остатков от деления каждого слагаемого на 9 будет делиться на 9. Это эквивалентно тому, что сумма сумм цифр будет делиться на 9.

$(13+x) + (21+x) + (15+x) = 49 + 3x$.

Выражение $49 + 3x$ должно делиться на 9. Проверим возможные значения $\text{x}$, которые мы нашли ранее (0 и 5).

Если $x=0$: $49 + 3 \cdot 0 = 49$. 49 не делится на 9 ($49 = 5 \cdot 9 + 4$).

Если $x=5$: $49 + 3 \cdot 5 = 49 + 15 = 64$. 64 не делится на 9 ($64 = 7 \cdot 9 + 1$).

Ни при одном из возможных значений $\text{x}$ сумма $\text{S}$ не делится на 9. Следовательно, она не может делиться и на 45. Это означает, что подобрать такую цифру, чтобы выполнить деление нацело, невозможно.

Ответ: такой цифры не существует, поэтому найти частное невозможно.