номер 513, страница 174, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

513. Вычислите, применяя переместительное и сочетательное свойства сложения:

1) $\left(\frac{5}{21}+\frac{2}{15}\right)+\frac{2}{21};$

2) $\left(\frac{2}{35}+\frac{3}{28}\right)+\frac{1}{28};$

3) $\left(\frac{7}{30}+\frac{8}{45}\right)+\left(\frac{2}{45}+\frac{1}{30}\right);$

4) $\left(\frac{5}{24}+\frac{11}{60}\right)+\left(\frac{13}{60}+\frac{1}{24}\right).$

1) Исходное выражение: $(\frac{5}{21} + \frac{2}{15}) + \frac{2}{21}$.

Чтобы упростить вычисление, применим переместительное и сочетательное свойства сложения. Это позволяет нам менять слагаемые местами и группировать их в любом порядке. Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем 21.

$(\frac{5}{21} + \frac{2}{15}) + \frac{2}{21} = (\frac{5}{21} + \frac{2}{21}) + \frac{2}{15}$

Сначала вычислим сумму в скобках:

$\frac{5}{21} + \frac{2}{21} = \frac{5+2}{21} = \frac{7}{21}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Теперь сложим результат с оставшейся дробью:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на 5:

$\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5+2}{15} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$.

2) Исходное выражение: $(\frac{2}{35} + \frac{3}{28}) + \frac{1}{28}$.

Используя сочетательное свойство сложения $(a+b)+c = a+(b+c)$, перегруппируем слагаемые, чтобы в первую очередь сложить дроби с одинаковым знаменателем 28.

$(\frac{2}{35} + \frac{3}{28}) + \frac{1}{28} = \frac{2}{35} + (\frac{3}{28} + \frac{1}{28})$

Вычислим сумму в скобках:

$\frac{3}{28} + \frac{1}{28} = \frac{3+1}{28} = \frac{4}{28}$

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

Теперь сложим результат с оставшейся дробью:

$\frac{2}{35} + \frac{1}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 35. Для этого вторую дробь умножим на 5:

$\frac{2}{35} + \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{2}{35} + \frac{5}{35} = \frac{2+5}{35} = \frac{7}{35}$

Сократим итоговую дробь на 7:

$\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

3) Исходное выражение: $(\frac{7}{30} + \frac{8}{45}) + (\frac{2}{45} + \frac{1}{30})$.

Раскроем скобки и, используя переместительное и сочетательное свойства, сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.

$(\frac{7}{30} + \frac{8}{45}) + (\frac{2}{45} + \frac{1}{30}) = (\frac{7}{30} + \frac{1}{30}) + (\frac{8}{45} + \frac{2}{45})$

Вычислим суммы в каждой паре скобок:

$\frac{7}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7+1}{30} = \frac{8}{30}$

$\frac{8}{45} + \frac{2}{45} = \frac{8+2}{45} = \frac{10}{45}$

Теперь сложим полученные дроби: $\frac{8}{30} + \frac{10}{45}$.

Предварительно сократим каждую дробь:

$\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ (сократили на 2)

$\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$ (сократили на 5)

Сложим сокращенные дроби: $\frac{4}{15} + \frac{2}{9}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 15 и 9. Это 45. Приведем дроби к этому знаменателю.

$\frac{4 \cdot 3}{15 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{12}{45} + \frac{10}{45} = \frac{12+10}{45} = \frac{22}{45}$

Ответ: $\frac{22}{45}$.

4) Исходное выражение: $(\frac{5}{24} + \frac{11}{60}) + (\frac{13}{60} + \frac{1}{24})$.

Как и в предыдущем примере, раскроем скобки и сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.

$(\frac{5}{24} + \frac{11}{60}) + (\frac{13}{60} + \frac{1}{24}) = (\frac{5}{24} + \frac{1}{24}) + (\frac{11}{60} + \frac{13}{60})$

Вычислим суммы в каждой группе:

$\frac{5}{24} + \frac{1}{24} = \frac{5+1}{24} = \frac{6}{24}$

$\frac{11}{60} + \frac{13}{60} = \frac{11+13}{60} = \frac{24}{60}$

Сложим полученные результаты: $\frac{6}{24} + \frac{24}{60}$.

Сократим каждую дробь перед сложением:

$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ (сократили на 6)

$\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ (сократили на 12)

Теперь сложим простые дроби: $\frac{1}{4} + \frac{2}{5}$.

Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.

$\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{5+8}{20} = \frac{13}{20}$

Ответ: $\frac{13}{20}$.