номер 521, страница 175, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

521. Найдите сумму дробей, знаменатели которых являются взаимно простыми числами:

1) $\frac{2}{*} + \frac{*}{4} = \frac{*+5}{20};$

2) $\frac{4}{*} + \frac{*}{3} = \frac{*+14}{21};$

3) $\frac{*}{11} + \frac{1}{*} = \frac{6+*}{22};$

4) $\frac{2}{*} + \frac{*}{8} = \frac{*+15}{40};$

5) $\frac{3}{*} + \frac{*}{5} = \frac{*+28}{35};$

6) $\frac{*}{9} + \frac{1}{*} = \frac{10+*}{45}.$

1) Обозначим неизвестные числа переменными. Пусть исходное равенство имеет вид $ \frac{2}{a} + \frac{b}{4} = \frac{c+5}{20} $. По условию, знаменатели дробей $\text{a}$ и 4 являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель $НОД(a, 4)=1$. При сложении дробей с взаимно простыми знаменателями, их общий знаменатель равен произведению исходных знаменателей. Знаменатель суммы равен 20, следовательно $a \cdot 4 = 20$. Отсюда находим $a = \frac{20}{4} = 5$. Проверим условие взаимной простоты: $НОД(5, 4) = 1$. Условие выполнено. Теперь равенство выглядит так: $ \frac{2}{5} + \frac{b}{4} = \frac{c+5}{20} $. Сложим дроби в левой части, приведя их к общему знаменателю 20: $ \frac{2}{5} + \frac{b}{4} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{5 \cdot b}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} + \frac{5b}{20} = \frac{8+5b}{20} $. Теперь сравним полученный числитель с числителем из условия: $8+5b = c+5$. Структура выражений подсказывает, что слагаемые должны быть равны. Предположим, что $c=8$ и $5b=5$. Из второго уравнения получаем $b=1$. Таким образом, мы восстановили все неизвестные: знаменатель первой дроби равен 5, числитель второй дроби - 1. Исходное уравнение: $ \frac{2}{5} + \frac{1}{4} $. Найдем сумму: $ \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} $.

Ответ: $ \frac{13}{20} $.

2)

Пусть равенство имеет вид $ \frac{4}{a} + \frac{b}{3} = \frac{c+14}{21} $. Знаменатели $\text{a}$ и 3 взаимно просты, $НОД(a, 3)=1$. Их произведение равно знаменателю суммы: $a \cdot 3 = 21$. Отсюда $a = \frac{21}{3} = 7$. Проверим: $НОД(7, 3) = 1$. Условие выполнено. Равенство принимает вид: $ \frac{4}{7} + \frac{b}{3} = \frac{c+14}{21} $. Сложим дроби слева: $ \frac{4}{7} + \frac{b}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 7 \cdot b}{7 \cdot 3} = \frac{12+7b}{21} $. Приравниваем числители: $12+7b = c+14$. Сопоставляя слагаемые, получаем $c=12$ и $7b=14$. Из второго уравнения находим $b=2$. Исходное уравнение: $ \frac{4}{7} + \frac{2}{3} $. Найдем сумму: $ \frac{4}{7} + \frac{2}{3} = \frac{12}{21} + \frac{14}{21} = \frac{26}{21} $.

Ответ: $ \frac{26}{21} $.

3)

Пусть равенство имеет вид $ \frac{a}{11} + \frac{1}{d} = \frac{6+c}{22} $. Знаменатели 11 и $\text{d}$ взаимно просты, $НОД(11, d)=1$. Их произведение равно знаменателю суммы: $11 \cdot d = 22$. Отсюда $d = \frac{22}{11} = 2$. Проверим: $НОД(11, 2) = 1$. Условие выполнено. Равенство принимает вид: $ \frac{a}{11} + \frac{1}{2} = \frac{6+c}{22} $. Сложим дроби слева: $ \frac{a}{11} + \frac{1}{2} = \frac{a \cdot 2 + 11 \cdot 1}{11 \cdot 2} = \frac{2a+11}{22} $. Приравниваем числители: $2a+11 = 6+c$. Сопоставляя слагаемые, получаем $2a=6$ и $c=11$. Из первого уравнения находим $a=3$. Исходное уравнение: $ \frac{3}{11} + \frac{1}{2} $. Найдем сумму: $ \frac{3}{11} + \frac{1}{2} = \frac{6}{22} + \frac{11}{22} = \frac{17}{22} $.

Ответ: $ \frac{17}{22} $.

4)

Пусть равенство имеет вид $ \frac{2}{a} + \frac{b}{8} = \frac{c+15}{40} $. Знаменатели $\text{a}$ и 8 взаимно просты, $НОД(a, 8)=1$. Их произведение равно знаменателю суммы: $a \cdot 8 = 40$. Отсюда $a = \frac{40}{8} = 5$. Проверим: $НОД(5, 8) = 1$. Условие выполнено. Равенство принимает вид: $ \frac{2}{5} + \frac{b}{8} = \frac{c+15}{40} $. Сложим дроби слева: $ \frac{2}{5} + \frac{b}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5 \cdot b}{5 \cdot 8} = \frac{16+5b}{40} $. Приравниваем числители: $16+5b = c+15$. Сопоставляя слагаемые, получаем $c=16$ и $5b=15$. Из второго уравнения находим $b=3$. Исходное уравнение: $ \frac{2}{5} + \frac{3}{8} $. Найдем сумму: $ \frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{16}{40} + \frac{15}{40} = \frac{31}{40} $.

Ответ: $ \frac{31}{40} $.

5)

Пусть равенство имеет вид $ \frac{3}{a} + \frac{b}{5} = \frac{c+28}{35} $. Знаменатели $\text{a}$ и 5 взаимно просты, $НОД(a, 5)=1$. Их произведение равно знаменателю суммы: $a \cdot 5 = 35$. Отсюда $a = \frac{35}{5} = 7$. Проверим: $НОД(7, 5) = 1$. Условие выполнено. Равенство принимает вид: $ \frac{3}{7} + \frac{b}{5} = \frac{c+28}{35} $. Сложим дроби слева: $ \frac{3}{7} + \frac{b}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 7 \cdot b}{7 \cdot 5} = \frac{15+7b}{35} $. Приравниваем числители: $15+7b = c+28$. Сопоставляя слагаемые, получаем $c=15$ и $7b=28$. Из второго уравнения находим $b=4$. Исходное уравнение: $ \frac{3}{7} + \frac{4}{5} $. Найдем сумму: $ \frac{3}{7} + \frac{4}{5} = \frac{15}{35} + \frac{28}{35} = \frac{43}{35} $.

Ответ: $ \frac{43}{35} $.

6)

Пусть равенство имеет вид $ \frac{a}{9} + \frac{1}{d} = \frac{10+c}{45} $. Знаменатели 9 и $\text{d}$ взаимно просты, $НОД(9, d)=1$. Их произведение равно знаменателю суммы: $9 \cdot d = 45$. Отсюда $d = \frac{45}{9} = 5$. Проверим: $НОД(9, 5) = 1$. Условие выполнено. Равенство принимает вид: $ \frac{a}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10+c}{45} $. Сложим дроби слева: $ \frac{a}{9} + \frac{1}{5} = \frac{a \cdot 5 + 9 \cdot 1}{9 \cdot 5} = \frac{5a+9}{45} $. Приравниваем числители: $5a+9 = 10+c$. Сопоставляя слагаемые, получаем $5a=10$ и $c=9$. Из первого уравнения находим $a=2$. Исходное уравнение: $ \frac{2}{9} + \frac{1}{5} $. Найдем сумму: $ \frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10}{45} + \frac{9}{45} = \frac{19}{45} $.

Ответ: $ \frac{19}{45} $.