номер 546, страница 183, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

546. Найдите корни уравнения:

1) $x + \frac{2}{x} = 7\frac{2}{7}$;

2) $y - \frac{y}{7} = 5\frac{1}{7}$;

3) $y - \frac{1}{y} = 8\frac{8}{9}$;

4) $y + \frac{3}{y} = 10\frac{3}{10}$.

1) Запишем исходное уравнение: $x + \frac{2}{x} = 7\frac{2}{7}$.

Заметим, что правая часть уравнения может быть представлена в виде суммы: $7\frac{2}{7} = 7 + \frac{2}{7}$.

Тогда уравнение примет вид: $x + \frac{2}{x} = 7 + \frac{2}{7}$.

Из структуры этого уравнения видно, что равенство будет верным, если $\text{x}$ равен одному из слагаемых в правой части, а $\frac{2}{x}$ — другому.

Проверим корень $x = 7$:

Подставляем в левую часть: $7 + \frac{2}{7} = 7\frac{2}{7}$. Равенство верно.

Проверим корень $x = \frac{2}{7}$:

Подставляем в левую часть: $\frac{2}{7} + \frac{2}{\frac{2}{7}} = \frac{2}{7} + 2 \cdot \frac{7}{2} = \frac{2}{7} + 7 = 7\frac{2}{7}$. Равенство верно.

Область допустимых значений $x \neq 0$ соблюдается.

Ответ: $7; \frac{2}{7}$.

2) Дано уравнение: $y - \frac{y}{7} = 5\frac{1}{7}$.

Упростим левую часть уравнения: $y - \frac{y}{7} = \frac{7y}{7} - \frac{y}{7} = \frac{6y}{7}$.

Переведем смешанное число в правой части в неправильную дробь: $5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{6y}{7} = \frac{36}{7}$.

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя: $6y = 36$.

Найдем $\text{y}$, разделив обе части на 6: $y = \frac{36}{6} = 6$.

Ответ: $\text{6}$.

3) Дано уравнение: $y - \frac{1}{y} = 8\frac{8}{9}$.

Представим смешанное число в правой части в виде разности: $8\frac{8}{9} = 9 - \frac{1}{9}$.

Тогда уравнение можно переписать в виде: $y - \frac{1}{y} = 9 - \frac{1}{9}$.

Из вида уравнения можно предположить, что один из корней $y = 9$.

Проверим: $9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$. Равенство верно.

Проверим второй возможный корень, $y = -\frac{1}{9}$.

Подставим в левую часть: $-\frac{1}{9} - \frac{1}{-\frac{1}{9}} = -\frac{1}{9} - (-9) = 9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$. Равенство верно.

Область допустимых значений $y \neq 0$ соблюдается.

Ответ: $9; -\frac{1}{9}$.

4) Запишем исходное уравнение: $y + \frac{3}{y} = 10\frac{3}{10}$.

Представим правую часть в виде суммы: $10\frac{3}{10} = 10 + \frac{3}{10}$.

Уравнение примет вид: $y + \frac{3}{y} = 10 + \frac{3}{10}$.

По аналогии с первым примером, можно увидеть, что корни уравнения можно найти методом подбора из структуры.

Проверим корень $y = 10$:

Подставляем в левую часть: $10 + \frac{3}{10} = 10\frac{3}{10}$. Равенство верно.

Проверим корень $y = \frac{3}{10}$:

Подставляем в левую часть: $\frac{3}{10} + \frac{3}{\frac{3}{10}} = \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{10}{3} = \frac{3}{10} + 10 = 10\frac{3}{10}$. Равенство верно.

Область допустимых значений $y \neq 0$ соблюдается.

Ответ: $10; \frac{3}{10}$.