номер 550, страница 183, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

550. Мальчик по кругу расположил камешки в 10 кучках. Число камешков в любой кучке отличается от числа камешков соседней кучки на 1. В самой большой кучке 14 камешков. Сколько камешков в самой маленькой кучке? Четное или нечетное число составляет сумма камешков во всех кучках?

Сколько камешков в самой маленькой кучке?

Обозначим количество камешков в 10 кучках, расположенных по кругу, как $k_1, k_2, \ldots, k_{10}$. По условию, в самой большой кучке 14 камешков. Пусть это будет первая кучка, $k_1 = 14$.

Так как число камешков в соседних кучках отличается на 1, а $k_1=14$ — это максимум, то в соседних с ней кучках $k_2$ и $k_{10}$ должно быть на один камешек меньше:

$k_2 = 14 - 1 = 13$

$k_{10} = 14 - 1 = 13$

Двигаясь дальше по кругу от кучки $k_2$ к $k_3$, $k_4$ и так далее, количество камешков должно последовательно уменьшаться, чтобы в итоге дойти до самой маленькой кучки. Аналогично, двигаясь от $k_{10}$ в другую сторону ($k_9$, $k_8$, ...), количество камешков также будет уменьшаться. Числа в кучках образуют последовательность, которая сначала убывает от максимума до минимума, а затем возрастает обратно к максимуму.

Пусть $M=14$ — максимальное число камешков, а $\text{m}$ — минимальное. Чтобы обойти круг, нужно пройти от $\text{M}$ до $\text{m}$ и обратно от $\text{m}$ до $\text{M}$. Количество шагов (кучек) при спуске от $\text{M}$ до $\text{m}$ равно $M-m$. Количество шагов при подъеме от $\text{m}$ до $\text{M}$ равно $M-m$. Общее число шагов равно 10. Однако, кучки с $\text{M}$ и $\text{m}$ могут быть не единственными.

Давайте выпишем последовательность, начиная с максимальной кучки и двигаясь симметрично в обе стороны:

• $k_1 = 14$
• $k_2 = 13$ и $k_{10} = 13$
• $k_3 = 12$ и $k_9 = 12$
• $k_4 = 11$ и $k_8 = 11$
• $k_5 = 10$ и $k_7 = 10$

Мы заполнили 9 кучек: $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ и $k_7, k_8, k_9, k_{10}$. Осталась одна кучка, $k_6$, которая находится между $k_5$ и $k_7$.

По условию, $|k_6 - k_5| = 1$ и $|k_6 - k_7| = 1$. Так как $k_5=10$ и $k_7=10$, то $|k_6 - 10| = 1$. Это означает, что $k_6$ может быть равен $10-1=9$ или $10+1=11$.

Если $k_6=11$, то последовательность будет $14, 13, 12, 11, 10, 11, 10, 11, 12, 13$. В этой последовательности самая маленькая кучка содержит 10 камешков. Но это неверно, так как тогда последовательность убывания от 14 должна была бы остановиться раньше.

Если же $k_6=9$, то это и будет самая маленькая кучка, так как все остальные кучки содержат 10 или более камешков. Последовательность количеств камешков в кучках будет выглядеть так: $14, 13, 12, 11, 10, 9, 10, 11, 12, 13$. Эта последовательность удовлетворяет всем условиям задачи. Самая большая кучка - 14, самая маленькая - 9.

Проверим формально: пусть путь от максимума $\text{M}$ к минимуму $\text{m}$ занимает $\text{i}$ шагов (т.е. $\text{i}$ кучек, не считая начальную). Тогда $M - m = i$. Путь от минимума $\text{m}$ обратно к максимуму $\text{M}$ занимает $\text{j}$ шагов. Тогда $M - m = j$. Общее число кучек (шагов) в круге $10 = i+j$. Получаем $M-m+M-m = 10 \Rightarrow 2(M-m)=10 \Rightarrow M-m=5$. Так как $M=14$, то $14-m=5 \Rightarrow m=9$.

Ответ: 9

Четное или нечетное число составляет сумма камешков во всех кучках?

Мы установили, что количества камешков в 10 кучках следующие: $14, 13, 12, 11, 10, 9, 10, 11, 12, 13$.

Чтобы определить четность суммы, можно либо найти саму сумму, либо проанализировать четность слагаемых.

Способ 1: Найдем сумму $\text{S}$.

$S = 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13$

$S = 14 + 9 + 2 \times (10 + 11 + 12 + 13) = 23 + 2 \times 46 = 23 + 92 = 115$.

Число 115 является нечетным.

Способ 2: Определим четность суммы по четности слагаемых.

Сумма является нечетной, если в ней нечетное количество нечетных слагаемых.

Выпишем нечетные числа из нашей последовательности: $13, 11, 9, 11, 13$.

Всего в сумме 5 нечетных слагаемых. Так как 5 — нечетное число, то и сумма этих пяти чисел будет нечетной. Сумма всех четных слагаемых ($14, 12, 10, 10, 12$) всегда будет четной. Сумма четного и нечетного чисел дает нечетное число. Следовательно, общая сумма камешков нечетна.

Ответ: нечетное