номер 552, страница 184, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

552*. Задание с выбором ответа. Решите уравнение:

1) $\Box\frac{8}{3x} - 4\frac{1}{x} = 3\frac{1}{3}$;

2) $3\frac{1}{6x} + \Box\frac{1}{3x} = 7\frac{1}{4}$;

3) $8\frac{1}{3x} - \Box\frac{1}{5x} = 6\frac{1}{30}$.

A. 2;

B. 7;

C. 5;

D. 4.

Для решения данных уравнений будем считать, что в пустой квадрат (далее $\text{y}$) и вместо $\text{x}$ нужно подставить целые положительные числа. Каждое уравнение решается как отдельная задача.

1)

Дано уравнение $\Box\frac{8}{3x} - 4\frac{1}{x} = 3\frac{1}{3}$.

Пусть в квадрате стоит число $\text{y}$. Запишем смешанные числа в виде суммы целой и дробной части:

$(y + \frac{8}{3x}) - (4 + \frac{1}{x}) = 3 + \frac{1}{3}$

Раскроем скобки и сгруппируем целые и дробные части:

$y - 4 + \frac{8}{3x} - \frac{1}{x} = 3\frac{1}{3}$

Приведем дроби с $\text{x}$ к общему знаменателю $3x$:

$y - 4 + \frac{8}{3x} - \frac{3}{3x} = \frac{10}{3}$

$y - 4 + \frac{5}{3x} = \frac{10}{3}$

Выразим $\text{y}$:

$y = 4 + \frac{10}{3} - \frac{5}{3x} = \frac{12+10}{3} - \frac{5}{3x} = \frac{22}{3} - \frac{5}{3x}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{22x - 5}{3x}$

Поскольку $\text{y}$ должно быть целым числом, то $22x - 5$ должно делиться на $3x$ без остатка. Преобразуем выражение:

$y = \frac{22x}{3x} - \frac{5}{3x} = \frac{22}{3} - \frac{5}{3x}$.

Это не самый удобный путь. Вернемся к $y = \frac{22x - 5}{3x}$. Пусть $y=k$, где $\text{k}$ — целое число.

$k = \frac{22x-5}{3x} \implies 3kx = 22x - 5 \implies 5 = 22x - 3kx \implies 5 = x(22 - 3k)$.

Так как $\text{x}$ и $\text{k}$ — целые числа, $\text{x}$ должен быть делителем числа 5. Возможные значения для $\text{x}$: 1, 5.

Для того чтобы дробные части в исходном выражении были правильными дробями, нужно, чтобы $x > 8/3 \approx 2.67$.

Следовательно, единственное возможное значение $x=5$.

Подставим $x=5$ в уравнение $5 = x(22 - 3k)$:

$5 = 5(22 - 3k) \implies 1 = 22 - 3k \implies 3k = 21 \implies k=7$.

Значит, в квадрате стоит число 7. Проверим:

$7\frac{8}{3 \cdot 5} - 4\frac{1}{5} = 7\frac{8}{15} - 4\frac{3}{15} = 3\frac{5}{15} = 3\frac{1}{3}$. Верно.

Ответ: В квадрат нужно вписать число 7, при этом $x=5$.

2)

Дано уравнение $3\frac{1}{6x} + \Box\frac{1}{3x} = 7\frac{1}{4}$.

Пусть в квадрате стоит число $\text{y}$. Запишем уравнение в виде сумм:

$(3 + \frac{1}{6x}) + (y + \frac{1}{3x}) = 7 + \frac{1}{4}$

Сгруппируем целые и дробные части:

$3 + y + \frac{1}{6x} + \frac{1}{3x} = 7\frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $6x$:

$3 + y + \frac{1}{6x} + \frac{2}{6x} = \frac{29}{4}$

$3 + y + \frac{3}{6x} = \frac{29}{4} \implies 3 + y + \frac{1}{2x} = \frac{29}{4}$

Выразим $\text{y}$:

$y = \frac{29}{4} - 3 - \frac{1}{2x} = \frac{29 - 12}{4} - \frac{1}{2x} = \frac{17}{4} - \frac{1}{2x}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{17x - 2}{4x}$

Пусть $y=k$, где $\text{k}$ — целое число. $k = \frac{17x-2}{4x} \implies 4kx = 17x - 2 \implies 2 = 17x - 4kx \implies 2 = x(17-4k)$.

Так как $\text{x}$ и $\text{k}$ — целые, $\text{x}$ должен быть делителем числа 2. Возможные значения для $\text{x}$: 1, 2.

Проверим оба случая:

- Если $x=1$, то $2 = 1(17 - 4k) \implies 4k = 15$, $\text{k}$ не целое.

- Если $x=2$, то $2 = 2(17 - 4k) \implies 1 = 17 - 4k \implies 4k = 16 \implies k=4$.

Значит, в квадрате стоит число 4, при $x=2$. Проверим:

$3\frac{1}{6 \cdot 2} + 4\frac{1}{3 \cdot 2} = 3\frac{1}{12} + 4\frac{1}{6} = 3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{12} = 7\frac{3}{12} = 7\frac{1}{4}$. Верно.

Ответ: В квадрат нужно вписать число 4, при этом $x=2$.

3)

Дано уравнение $8\frac{1}{3x} - \Box\frac{1}{5x} = 6\frac{1}{30}$.

Пусть в квадрате стоит число $\text{y}$. Запишем уравнение в виде сумм:

$(8 + \frac{1}{3x}) - (y + \frac{1}{5x}) = 6 + \frac{1}{30}$

Раскроем скобки и сгруппируем:

$8 - y + \frac{1}{3x} - \frac{1}{5x} = 6\frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю $15x$:

$8 - y + \frac{5 - 3}{15x} = \frac{181}{30}$

$8 - y + \frac{2}{15x} = \frac{181}{30}$

Выразим $\text{y}$:

$y = 8 - 6 - \frac{1}{30} + \frac{2}{15x} = 2 - \frac{1}{30} + \frac{4}{30x}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = 2 + \frac{4-x}{30x}$

Поскольку $\text{y}$ должно быть целым числом, то и $\frac{4-x}{30x}$ должно быть целым числом. Обозначим его $\text{k}$.

$k = \frac{4-x}{30x} \implies 30kx = 4 - x \implies x(1 + 30k) = 4$.

Так как $\text{x}$ и $\text{k}$ — целые, $\text{x}$ должен быть делителем числа 4. Возможные значения для $\text{x}$: 1, 2, 4.

Проверим эти значения:

- Если $x=1$, то $1(1 + 30k) = 4 \implies 30k = 3$, $\text{k}$ не целое.

- Если $x=2$, то $2(1 + 30k) = 4 \implies 1 + 30k = 2 \implies 30k = 1$, $\text{k}$ не целое.

- Если $x=4$, то $4(1 + 30k) = 4 \implies 1 + 30k = 1 \implies 30k = 0 \implies k=0$.

При $k=0$, $y = 2+0 = 2$.

Значит, в квадрате стоит число 2, при $x=4$. Проверим:

$8\frac{1}{3 \cdot 4} - 2\frac{1}{5 \cdot 4} = 8\frac{1}{12} - 2\frac{1}{20} = 8\frac{5}{60} - 2\frac{3}{60} = 6\frac{2}{60} = 6\frac{1}{30}$. Верно.

Ответ: В квадрат нужно вписать число 2, при этом $x=4$.