Номер 1440, страница 307 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 48. Деление десятичных дробей. Глава 5. Десятичные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1440, страница 307.

1440. Черепаха ползёт по плоскости с постоянной скоростью, изменяя направление движения на $90^\circ$ через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку старта она сможет только через целое количество часов после начала движения.

Пусть черепаха начинает движение из начала координат $(0, 0)$ в декартовой системе координат. Скорость черепахи постоянна, обозначим её $v$. Черепаха движется отрезками времени по 15 минут. За каждый такой интервал она проходит одинаковое расстояние, обозначим его $L = v \cdot 15 \text{ мин}$.

Направим ось Ox вдоль начального направления движения черепахи. Тогда вектор перемещения за первый 15-минутный интервал будет $\vec{s_1} = (L, 0)$.

По условию, через каждые 15 минут черепаха меняет направление движения на $90^\circ$. Это означает, что каждый последующий вектор перемещения будет перпендикулярен предыдущему. Следовательно, векторы перемещения будут поочередно параллельны осям Ox и Oy.

Пусть $\vec{s_k}$ — это вектор перемещения за $k$-й 15-минутный интервал. Векторы с нечетными номерами ($\vec{s_1}, \vec{s_3}, \vec{s_5}, \ldots$) будут параллельны оси Ox, и их координаты будут иметь вид $(\pm L, 0)$. В свою очередь, векторы с четными номерами ($\vec{s_2}, \vec{s_4}, \vec{s_6}, \ldots$) будут параллельны оси Oy, а их координаты — $(0, \pm L)$.

Черепаха вернется в точку старта, если суммарный вектор перемещения после $N$ интервалов будет равен нулевому вектору:$ \vec{S} = \sum_{k=1}^{N} \vec{s_k} = \vec{0} $Это равносильно тому, что суммы проекций всех векторов на каждую из координатных осей равны нулю.

Проекция на ось Ox:

Сумма проекций на ось Ox состоит из перемещений, параллельных этой оси (векторы с нечетными номерами). Пусть $N_x^+$ — количество отрезков, пройденных в положительном направлении оси Ox, а $N_x^-$ — количество отрезков, пройденных в отрицательном направлении. Для возврата в исходную точку по этой оси необходимо выполнение условия:$ N_x^+ \cdot L - N_x^- \cdot L = 0 \implies N_x^+ = N_x^- $Общее число отрезков, параллельных оси Ox, равно $N_{Ox} = N_x^+ + N_x^- = 2N_x^+$. Отсюда следует, что $N_{Ox}$ должно быть четным числом.

Проекция на ось Oy:

Аналогично, сумма проекций на ось Oy состоит из перемещений, параллельных этой оси (векторы с четными номерами). Пусть $N_y^+$ — количество отрезков, пройденных в положительном направлении оси Oy, а $N_y^-$ — в отрицательном. Условие возврата в исходную точку по оси Oy:$ N_y^+ \cdot L - N_y^- \cdot L = 0 \implies N_y^+ = N_y^- $Общее число отрезков, параллельных оси Oy, равно $N_{Oy} = N_y^+ + N_y^- = 2N_y^+$. Следовательно, $N_{Oy}$ также должно быть четным числом.

Теперь свяжем $N_{Ox}$ и $N_{Oy}$ с общим числом интервалов $N$. $N_{Ox}$ — это количество нечетных чисел в последовательности от 1 до $N$, а $N_{Oy}$ — количество четных. Рассмотрим два возможных случая для $N$.
Случай 1: $N$ — четное число. Пусть $N=2m$ для некоторого целого $m \ge 1$. В этом случае в последовательности от 1 до $2m$ содержится ровно $m$ нечетных чисел и $m$ четных. Таким образом, $N_{Ox} = m$ и $N_{Oy} = m$. Поскольку и $N_{Ox}$, и $N_{Oy}$ должны быть четными, число $m$ также должно быть четным. Пусть $m=2k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Тогда общее число интервалов $N = 2m = 2(2k) = 4k$. Это означает, что $N$ должно быть кратно 4.
Случай 2: $N$ — нечетное число. Пусть $N=2m-1$ для некоторого целого $m \ge 1$. В этом случае в последовательности от 1 до $2m-1$ содержится $m$ нечетных чисел и $m-1$ четное число. Таким образом, $N_{Ox} = m$ и $N_{Oy} = m-1$. Мы требуем, чтобы и $N_{Ox}$, и $N_{Oy}$ были четными. Однако $m$ и $m-1$ — это два последовательных целых числа, и они не могут быть оба четными. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный случай — когда общее число 15-минутных интервалов $N$ кратно 4. Пусть $N=4k$, где $k$ — натуральное число. Найдем общее время движения $T$, которое потребовалось черепахе, чтобы вернуться в точку старта:$ T = N \cdot 15 \text{ мин} = (4k) \cdot 15 \text{ мин} = 60k \text{ мин} = k \text{ часов}. $Поскольку $k$ является натуральным числом, время $T$ всегда будет выражаться целым количеством часов, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, что черепаха сможет вернуться в точку старта только через целое количество часов после начала движения, доказано.