Номер 1433, страница 306 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 48. Деление десятичных дробей. Глава 5. Десятичные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1433, страница 306.

1433. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы деление было выполнено верно:

1) $\begin{array}{l|l}\text{\_*,* **} & \text{* 9} \\\cline{2-2}\text{\ \_ 2 *} & \text{*, 1*} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \_ \_**} \\\text{\ \ \ \_ \_ \_5 8} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \ \ 0}\end{array}$

2) $\begin{array}{l|l}\text{\_*,* 5} & \text{3 9} \\\cline{2-2}\text{\ \_ 7 *} & \text{*,* *} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \_ \_**} \\\text{\ \ \ \_ \_ \_**} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \ \ 0}\end{array}$

3) $\begin{array}{l|l}\text{\_*,* 1} & \text{* 9} \\\cline{2-2}\text{\ \_ 2 *} & \text{*,* *} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \_ \_**} \\\text{\ \ \ \_ \_*} \\\cline{1-1}\text{\ \ \ \ \ 0}\end{array}$

1)

Для решения данной задачи по восстановлению деления в столбик, проанализируем каждый шаг.

 *,** | *9- 2* | *,1* --- **- 58 --- 0

1. Обозначим делимое как $D_1$, делитель как $d$, частное как $q$. Из вида частного $q = *,1*$ и того, что в процессе деления вычитается число $58$, можно сделать вывод о структуре деления. Последнее вычитание в столбик, дающее в остатке 0, имеет вид $X - 58 = 0$, откуда $X=58$. Это число $X$ получается произведением последней цифры частного на делитель.

2. Пусть последняя цифра частного равна $C$, а делитель $d = A9$ (двузначное число, оканчивающееся на 9). Тогда $C \times A9 = 58$. Единственное двузначное число, оканчивающееся на 9, которое при умножении на целое число от 1 до 9 дает 58, это 29. При этом $2 \times 29 = 58$.
Следовательно, делитель $d = 29$, а последняя цифра частного $C = 2$.

3. Теперь мы знаем, что частное имеет вид $*,12$, а делитель равен 29.

4. Вторая цифра частного - 1. Произведение этой цифры на делитель дает $1 \times 29 = 29$. Это число должно вычитаться на втором шаге деления. В условии на этом месте стоит число 58. Это явное несоответствие. Наиболее вероятно, что в условии задачи допущена опечатка, и структура деления более сложная, чем показано. Предположим, что в столбик записаны не все шаги, а именно пропущен шаг с вычитанием $1 \times 29 = 29$. Тогда полная запись деления выглядит так:

 B,12 _______29 | D E,F G - 2* ---- H F - 29 ---- 5 8 - 5 8 -- 0

5. Восстановим деление с конца. Перед вычитанием 58 было число 58. Оно получилось из остатка от предыдущего деления и последней цифры делимого $G$. Остаток был 5, а цифра $G=8$.

6. На шаге ранее из числа $HF$ вычитали 29 и получили в остатке 5. Значит, $HF - 29 = 5$, откуда $HF = 34$. Это число получилось из остатка от первого деления и цифры делимого $F$. Значит, остаток был 3, а цифра $F=4$.

7. На первом шаге из числа $DE$ вычитали $B \times 29$ и получили в остатке 3. Произведение $B \times 29$ в условии обозначено как $2*$. Это возможно только если $B=1$, так как $1 \times 29 = 29$. Тогда $DE - 29 = 3$, откуда $DE = 32$.

8. Собираем все найденные цифры:
Делимое: $32,48$
Делитель: $29$
Частное: $1,12$
Проверим: $29 \times 1,12 = 32,48$.

Восстановленное деление:

 32,48 | 29- 29 | 1,12 ---- 3 4- 29 ---- 58- 58 ---- 0

Ответ: $32,48 \div 29 = 1,12$.

2)

Восстановим деление:

 *,**5 | 39- 7* | *,** --- **- ** --- **- ** --- 0

1. Делимое — четырёхзначное число, оканчивающееся на 5. Делитель — 39. Частное — трёхзначное целое число (так как в частном нет запятой).

2. На последнем шаге из некоторого числа вычитают произведение последней цифры частного $C$ на делитель 39, и получают остаток 0. Это число, из которого вычитают, оканчивается на 5 (последняя цифра делимого). Значит, произведение $C \times 39$ должно оканчиваться на 5. Единственная цифра $C$, для которой это выполняется, — это 5, так как $5 \times 9 = 45$.
Находим произведение: $5 \times 39 = 195$.

3. Это означает, что на последнем шаге из числа 195 вычли 195. Число 195 получилось из остатка от предыдущего деления (обозначим $R_2$) и последней цифры делимого (5). Значит, остаток $R_2 = 19$.

4. На первом шаге из первых двух цифр делимого $AB$ вычитается произведение первой цифры частного $D$ на 39. Это произведение указано как $7*$. Проверяем умножение: $1 \times 39 = 39$, $2 \times 39 = 78$. Значит, первая цифра частного $D=2$, а вычитаемое равно 78.

5. Таким образом, $AB - 78 = R_1$, где $R_1$ — остаток от первого деления.

6. На втором шаге к остатку $R_1$ сносится третья цифра делимого $E$, получается число $R_1E$. Из него вычитается произведение второй цифры частного $F$ на 39. В остатке получается $R_2=19$. То есть, $R_1E - F \times 39 = 19$.
$R_1E = 19 + F \times 39$. Так как $R_1$ — остаток от деления на 39, он должен быть меньше 39.Переберем возможные значения $F$:
- Если $F=0$: $R_1E = 19$. Тогда $R_1=1$, $E=9$. Остаток $R_1=1 < 39$. Это возможный вариант.
- Если $F=1$: $R_1E = 19 + 39 = 58$. Тогда $R_1=5$, $E=8$. Остаток $R_1=5 < 39$. Возможный вариант.
- Если $F=2$: $R_1E = 19 + 78 = 97$. Тогда $R_1=9$, $E=7$. Остаток $R_1=9 < 39$. Возможный вариант.
- Если $F=3$: $R_1E = 19 + 117 = 136$. $R_1$ не может быть двузначным числом, так как $R_1$ - остаток от вычитания $AB-78$, где $AB \le 99$. Максимальный остаток $99-78 = 21$.

7. Теперь для каждого из трех вариантов найдем первые цифры делимого $AB$ из $AB - 78 = R_1$:
- Вариант 1: $R_1=1$. $AB - 78 = 1 \implies AB = 79$. Делимое 7995, частное 205. Проверка: $7995 \div 39 = 205$.- Вариант 2: $R_1=5$. $AB - 78 = 5 \implies AB = 83$. Делимое 8385, частное 215. Проверка: $8385 \div 39 = 215$.- Вариант 3: $R_1=9$. $AB - 78 = 9 \implies AB = 87$. Делимое 8775, частное 225. Проверка: $8775 \div 39 = 225$.

Все три варианта являются математически верными. Однако в таких задачах обычно предполагается уникальное решение. Часто в подобных задачах количество звёздочек соответствует количеству цифр. Промежуточные делимые и вычитаемые на втором и третьем шаге (`**`) должны быть двузначными. Но мы получили, что последнее вычитаемое — 195, трёхзначное число. Это указывает на возможную неточность в условии задачи. Если принять, что звёздочки могут скрывать и трёхзначные числа, то все три решения подходят. Выберем одно из них в качестве ответа.

Восстановленное деление для одного из вариантов:

 8385 | 39- 78 | 215 --- 58- 39 --- 195- 195 --- 0

Ответ: $8385 \div 39 = 215$. (Также возможны варианты $7995 \div 39 = 205$ и $8775 \div 39 = 225$).

3)

Восстановим деление:

 *,*1* | *9- 2* | *,** --- **- *** --- ***- *** --- 0

1. Делимое — четырёхзначное число вида $AB1C$. Делитель $d=D9$. Частное $q=EFG$ — трёхзначное целое число.

2. На первом шаге из $AB$ вычитается $E \times D9$. Результат равен $2*$.

3. На втором и третьем шагах вычитаются одинаковые трёхзначные числа. Это значит, что вторая и третья цифры частного равны: $F=G$. Обозначим их $K$. Тогда $K \times D9$ — это трёхзначное число.

4. Последнее вычитание: $X - (K \times D9) = 0$, значит, предпоследний остаток $R_2$ вместе с последней цифрой делимого $C$ образуют число $K \times D9$.

5. Проанализируем делитель $D9$ и первую цифру частного $E$. Произведение $E \times D9 = 2*$. Переберем возможные значения $D$:
- Если $D=1$, $d=19$. $1 \times 19 = 19$, $2 \times 19 = 38$. Ни одно не начинается на 2.
- Если $D=2$, $d=29$. $1 \times 29 = 29$. Подходит. Значит, делитель может быть 29, а первая цифра частного $E=1$.- Если $D \ge 3$, то $E \times D9$ не может начинаться на 2, так как даже при $E=1$ произведение будет больше 29 ($1 \times 39 = 39$).
Следовательно, делитель $d=29$, а первая цифра частного $E=1$.

6. Теперь, зная делитель 29, найдем вторую и третью цифры частного $K$. $K \times 29$ должно быть трёхзначным числом. $1 \times 29 = 29$, $2 \times 29 = 58$, $3 \times 29 = 87$. $4 \times 29 = 116$. Значит, $K \ge 4$.

7. Пусть $K=F=G$. Вычитаемое на втором и третьем шагах равно $K \times 29$.На втором шаге из числа $R_11$ (остаток $R_1$ и снесённая цифра 1) вычитают $K \times 29$ и получают остаток $R_2$.$R_11 - K \times 29 = R_2$.На третьем шаге из числа $R_2C$ (остаток $R_2$ и снесённая цифра $C$) вычитают $K \times 29$ и получают 0.$R_2C = K \times 29$.

8. Объединим эти уравнения. $R_1$ с приписанной 1 даёт $R_11$. $R_2$ с приписанной $C$ даёт $R_2C$.Начнём подбор $K$:- Если $K=4$, $K \times 29 = 116$. Тогда $R_2C = 116 \implies R_2 = 11, C = 6$. $R_11 - 116 = 11 \implies R_11 = 127$. Это значит $R_1 = 12$. На первом шаге: $AB - 1 \times 29 = R_1 \implies AB - 29 = 12 \implies AB = 41$. Делимое: 4116. Проверим деление: $41 \div 29 = 1$ (ост. 12). Сносим 1, получаем 121. А должно быть 127. Не подходит.- Если $K=5$, $K \times 29 = 145$. $R_2C=145 \implies R_2=14, C=5$. $R_11 - 145 = 14 \implies R_11 = 159$. Значит, $R_1=15$. $AB - 29 = 15 \implies AB = 44$. Делимое 4415. Проверка: $44 \div 29 = 1$ (ост. 15). Сносим 1, получаем 151. А должно быть 159. Не подходит.- Если $K=6$, $K \times 29 = 174$. $R_2C=174 \implies R_2=17, C=4$. $R_11 - 174 = 17 \implies R_11 = 191$. Значит, $R_1=19$. $AB - 29 = 19 \implies AB = 48$. Делимое 4814. Проверка: $48 \div 29 = 1$ (ост. 19). Сносим 1, получаем 191. Совпало. $191 \div 29 = 6$ (ост. 17). Совпало. Сносим 4, получаем 174. $174 \div 29 = 6$ (ост. 0). Совпало.

Решение найдено.

Восстановленное деление:

 4814 | 29- 29 | 166 ---- 191- 174 ---- 174- 174 ---- 0

Ответ: $4814 \div 29 = 166$.