Номер 1, страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 21. Деление с остатком. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 1, страница 139.

1. Сравните остаток и делитель.

При делении с остатком, остаток всегда строго меньше делителя. Это фундаментальное правило деления.

Давайте рассмотрим это математически. Любое целое число a (делимое) можно представить через другое целое положительное число b (делитель) с помощью следующей формулы:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ — делимое;
• $b$ — делитель ($b > 0$);
• $q$ — неполное частное (результат целочисленного деления);
• $r$ — остаток.

Ключевое условие для остатка $r$ заключается в том, что он должен быть неотрицательным и строго меньше делителя $b$. Это записывается в виде неравенства:

$0 \le r < b$

Почему остаток не может быть больше или равен делителю?

Если бы остаток $r$ был равен или больше делителя $b$ ($r \ge b$), это означало бы, что мы могли бы "извлечь" из остатка еще как минимум один делитель. В таком случае наше деление было бы неполным, и частное $q$ следовало бы увеличить. Процесс деления завершается только тогда, когда оставшаяся часть (остаток) становится меньше, чем число, на которое мы делим (делитель).

Примеры:

1. Разделим 23 на 5.

$23 = 5 \cdot 4 + 3$

Здесь делитель равен 5, а остаток равен 3. Сравниваем их: $3 < 5$. Условие выполняется.

2. Разделим 42 на 7.

$42 = 7 \cdot 6 + 0$

Здесь делитель равен 7, а остаток равен 0 (деление нацело). Сравниваем их: $0 < 7$. Условие выполняется.

3. Неправильный пример. Попробуем разделить 23 на 5 и сказать, что частное равно 3.

$23 = 5 \cdot 3 + 8$

Здесь мы получили остаток 8, который больше делителя 5 ($8 > 5$). Это неверно, потому что из остатка 8 можно выделить еще одну 5. Правильное деление, как в первом примере, дает остаток 3.

Ответ: Остаток всегда меньше делителя. Он может быть равен нулю (при делении нацело), но никогда не может быть равен или больше делителя.