Номер 155, страница 40, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

155 $A$ – множество делителей числа 12, а $B$ – множество делителей числа 18.

а) Запиши множества $A$ и $B$ с помощью фигурных скобок.

б) Принадлежат ли множествам $A$ и $B$ числа 1, 4, 6, 15? Сделай записи, используя знаки $\in$ и $\notin$.

в) Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств $A$ и $B$ и найди их пересечение. Каким свойством обладают элементы множества $A \cap B$?

г) Верны ли высказывания:

$1 \in A \cap B$,

$4 \in A \cap B$,

$4 \notin A \cap B$,

$15 \notin A \cap B$?

а) Множество A – это множество всех натуральных чисел, на которые число 12 делится без остатка. Делителями числа 12 являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Таким образом, множество A можно записать с помощью фигурных скобок как $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

Множество B – это множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка. Делителями числа 18 являются числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Таким образом, множество B можно записать как $B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Ответ: $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, $B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

б) Проверим принадлежность чисел 1, 4, 6, 15 множествам A и B, используя знаки принадлежности $\in$ и непринадлежности $\notin$.

Для числа 1:

1 является делителем 12 ($12 \div 1 = 12$), следовательно, $1 \in A$.

1 является делителем 18 ($18 \div 1 = 18$), следовательно, $1 \in B$.

Для числа 4:

4 является делителем 12 ($12 \div 4 = 3$), следовательно, $4 \in A$.

4 не является делителем 18 (при делении 18 на 4 остается остаток), следовательно, $4 \notin B$.

Для числа 6:

6 является делителем 12 ($12 \div 6 = 2$), следовательно, $6 \in A$.

6 является делителем 18 ($18 \div 6 = 3$), следовательно, $6 \in B$.

Для числа 15:

15 не является делителем 12, следовательно, $15 \notin A$.

15 не является делителем 18, следовательно, $15 \notin B$.

Ответ: $1 \in A, 1 \in B$; $4 \in A, 4 \notin B$; $6 \in A, 6 \in B$; $15 \notin A, 15 \notin B$.

в) Для построения диаграммы Эйлера – Венна найдем пересечение множеств A и B, то есть множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

Общими элементами для множеств A и B являются 1, 2, 3, 6. Следовательно, пересечение множеств $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$.

На диаграмме Эйлера – Венна, состоящей из двух пересекающихся кругов для множеств A и B:

– в области пересечения кругов будут расположены элементы множества $A \cap B$: $\{1, 2, 3, 6\}$;

– в части круга A, не входящей в пересечение, будут элементы, принадлежащие только A: $\{4, 12\}$;

– в части круга B, не входящей в пересечение, будут элементы, принадлежащие только B: $\{9, 18\}$.

Элементы множества $A \cap B$ обладают свойством быть общими делителями чисел 12 и 18. Иначе говоря, это множество всех делителей наибольшего общего делителя (НОД) этих чисел. НОД(12, 18) = 6. Элементы $\{1, 2, 3, 6\}$ являются всеми делителями числа 6.

Ответ: Пересечение множеств $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$. Элементы этого множества являются общими делителями чисел 12 и 18 (или, что то же самое, делителями числа 6).

г) Проверим истинность данных высказываний. Нам известно, что $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$.

$1 \in A \cap B$: Это высказывание верно, так как 1 является элементом множества $\{1, 2, 3, 6\}$.

$4 \in A \cap B$: Это высказывание неверно, так как 4 не является элементом множества $\{1, 2, 3, 6\}$.

$4 \notin A \cap B$: Это высказывание верно, так как 4 действительно не принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 6\}$.

$15 \notin A \cap B$: Это высказывание верно, так как 15 действительно не принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: $1 \in A \cap B$ – верно; $4 \in A \cap B$ – неверно; $4 \notin A \cap B$ – верно; $15 \notin A \cap B$ – верно.