Номер 156, страница 40, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

156 $E$ – множество делителей числа 15, а $F$ – множество делителей числа 30.

а) Запиши множества $E$ и $F$ с помощью фигурных скобок.

б) Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств $E$ и $F$. Что ты замечаешь? Сделай запись, используя знак $\subset$.

в) Верны ли утверждения:

«Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30»,

«Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15»?

г) Найди объединение и пересечение множеств $E$ и $F$.

а)

Множество $E$ – это множество делителей числа 15. Чтобы найти все делители, найдем все натуральные числа, на которые 15 делится без остатка.
$15 : 1 = 15$
$15 : 3 = 5$
$15 : 5 = 3$
$15 : 15 = 1$
Таким образом, делителями числа 15 являются числа 1, 3, 5, 15.
Запишем множество $E$: $E = \{1, 3, 5, 15\}$.

Множество $F$ – это множество делителей числа 30. Найдем все натуральные числа, на которые 30 делится без остатка.
$30 : 1 = 30$
$30 : 2 = 15$
$30 : 3 = 10$
$30 : 5 = 6$
$30 : 6 = 5$
$30 : 10 = 3$
$30 : 15 = 2$
$30 : 30 = 1$
Таким образом, делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Запишем множество $F$: $F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.

Ответ: $E = \{1, 3, 5, 15\}$, $F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.

б)

Для построения диаграммы Эйлера-Венна сравним элементы множеств $E = \{1, 3, 5, 15\}$ и $F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.
Можно заметить, что каждый элемент множества $E$ (1, 3, 5 и 15) также является элементом множества $F$.
Когда все элементы одного множества содержатся в другом, говорят, что первое множество является подмножеством второго. На диаграмме Эйлера-Венна это изображается в виде одной фигуры, расположенной полностью внутри другой.

Я замечаю, что множество $E$ полностью содержится в множестве $F$. Это означает, что $E$ является подмножеством $F$.
Запись с использованием знака $\subset$ выглядит так: $E \subset F$.

Ответ: На диаграмме видно, что круг, представляющий множество $E$, находится внутри круга, представляющего множество $F$. Запись: $E \subset F$.

в)

Проверим верность утверждения: «Каждый делитель числа 15 является делителем числа 30».
Это утверждение означает, что множество делителей числа 15 (множество $E$) является подмножеством множества делителей числа 30 (множество $F$). Как мы установили в пункте б), $E \subset F$. Все элементы из $E = \{1, 3, 5, 15\}$ также находятся в $F$. Следовательно, утверждение верно.

Проверим верность утверждения: «Каждый делитель числа 30 является делителем числа 15».
Это утверждение означает, что множество $F$ является подмножеством множества $E$.
Однако, множество $F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$ содержит элементы, которых нет в множестве $E = \{1, 3, 5, 15\}$. Например, 2 является делителем 30, но не является делителем 15. То же самое можно сказать о числах 6, 10 и 30.
Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Первое утверждение верно, а второе неверно.

г)

Объединение множеств $E$ и $F$, обозначаемое $E \cup F$, — это множество, содержащее все элементы, которые есть в $E$, или в $F$, или в обоих множествах.
Так как $E$ является подмножеством $F$, все элементы $E$ уже включены в $F$. Поэтому их объединение будет равно самому большому множеству, то есть $F$.
$E \cup F = \{1, 3, 5, 15\} \cup \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.

Пересечение множеств $E$ и $F$, обозначаемое $E \cap F$, — это множество, содержащее только те элементы, которые являются общими для обоих множеств.
Так как все элементы множества $E$ содержатся в множестве $F$, их общими элементами будет всё множество $E$.
$E \cap F = \{1, 3, 5, 15\} \cap \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} = \{1, 3, 5, 15\}$.

Ответ: Объединение: $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$. Пересечение: $E \cap F = \{1, 3, 5, 15\}$.