Номер 297, страница 73, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

С 297 Разделив некоторое целое число на 15, Боря получил в остатке 8, а разделив его на 20, он получил в остатке 17. Покажи, что Боря ошибся.

Обозначим целое число, которое делил Боря, буквой $N$. Из условия задачи следует, что должны одновременно выполняться два равенства для некоторых целых чисел $k$ и $m$:
1. $N = 15k + 8$ (при делении на 15 остаток 8)
2. $N = 20m + 17$ (при делении на 20 остаток 17)

Чтобы доказать, что Боря ошибся, нужно показать, что не существует такого целого числа $N$, которое удовлетворяло бы обоим этим условиям. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Анализ остатков при делении на 5
Рассмотрим первое равенство: $N = 15k + 8$. Поскольку слагаемое $15k$ делится на 5 (так как 15 кратно 5), остаток от деления числа $N$ на 5 будет равен остатку от деления числа 8 на 5. При делении 8 на 5 остаток равен 3. Значит, из первого условия следует, что число $N$ при делении на 5 должно давать в остатке 3.

Теперь рассмотрим второе равенство: $N = 20m + 17$. Поскольку слагаемое $20m$ делится на 5 (так как 20 кратно 5), остаток от деления числа $N$ на 5 будет равен остатку от деления числа 17 на 5. При делении 17 на 5 остаток равен 2. Значит, из второго условия следует, что число $N$ при делении на 5 должно давать в остатке 2.

Мы пришли к противоречию: одно и то же число $N$ не может давать два разных остатка (2 и 3) при делении на 5.

Способ 2: Анализ последней цифры числа
Рассмотрим второе равенство: $N = 20m + 17$. Число $20m$ всегда оканчивается на 0. Следовательно, число $N = 20m + 17$ будет оканчиваться на ту же цифру, что и 17, то есть на 7.

Теперь рассмотрим первое равенство: $N = 15k + 8$. Число $15k$ всегда оканчивается либо на 0 (если $k$ — чётное), либо на 5 (если $k$ — нечётное).
- Если $15k$ оканчивается на 0, то $N$ оканчивается на $0+8=8$.
- Если $15k$ оканчивается на 5, то $N$ оканчивается на ту же цифру, что и $5+8=13$, то есть на 3.
Таким образом, согласно первому условию, число $N$ должно оканчиваться либо на 3, либо на 8.

Мы снова пришли к противоречию: число $N$ не может одновременно оканчиваться на 7 (согласно второму условию) и на 3 или 8 (согласно первому условию).

Оба способа доказывают, что не существует целого числа, которое удовлетворяло бы обоим его утверждениям, следовательно, Боря ошибся.

Ответ: Боря ошибся. Невозможно, чтобы целое число при делении на 15 давало остаток 8, а при делении на 20 — остаток 17. Это следует из того, что такое число, с одной стороны, должно при делении на 5 давать остаток 3 (из первого условия), а с другой — остаток 2 (из второго условия), что является противоречием.