Номер 303, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

303 Переведи с математического языка на русский некоторые свойства умноже- ния и деления (при условии, что все данные операции деления выполнимы на множестве натуральных чисел). Рассмотри их доказательство и объясни, на основании каких свойств чисел выполнены преобразования.

1) $ (a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b $

Доказательство:

$ ((a : c) \cdot b) \cdot c = (a : c) \cdot (b \cdot c) = (a : c) \cdot (c \cdot b) = ((a : c) \cdot c) \cdot b = a \cdot b. $

Значит, $ (a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b $, что и требовалось доказать.

2) $ a : (b \cdot c) = (a : b) : c $

Доказательство:

$ ((a : b) : c) \cdot (b \cdot c) = ((a : b) : c) \cdot (c \cdot b) = [((a : b) : c) \cdot c] \cdot b = (a : b) \cdot b = a. $

Значит, $ a : (b \cdot c) = (a : b) : c $, что и требовалось доказать.

3) $ a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) $

Доказательство:

$ (a \cdot c) : (b \cdot c) = (a \cdot c) : (c \cdot b) = ((a \cdot c) : c) : b = a : b, $

что и требовалось доказать.

4) $ a : b = (a : c) : (b : c) $

Доказательство:

$ (a : c) : (b : c) = ((a : c) \cdot c) : ((b : c) \cdot c) = a : b $, что и требовалось доказать.

На с. 75 приведено другое доказательство свойства 3. Какое из доказательств тебе понравилось больше?

1) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$

Перевод на русский язык: Чтобы разделить произведение двух чисел на некоторое число, можно разделить на это число один из множителей (если такое деление возможно нацело) и полученное частное умножить на второй множитель.

Анализ доказательства: Доказательство основано на определении деления. Чтобы доказать, что делимое, разделенное на делитель, равно частному, можно показать, что частное, умноженное на делитель, равно делимому. В данном случае проверяется, что $((a : c) \cdot b) \cdot c = a \cdot b$.

$((a : c) \cdot b) \cdot c = (a : c) \cdot (b \cdot c)$ — здесь применяется сочетательное свойство умножения.

$(a : c) \cdot (b \cdot c) = (a : c) \cdot (c \cdot b)$ — здесь применяется переместительное свойство умножения.

$(a : c) \cdot (c \cdot b) = ((a : c) \cdot c) \cdot b$ — здесь снова применяется сочетательное свойство умножения.

$((a : c) \cdot c) \cdot b = a \cdot b$ — здесь используется определение деления: частное, умноженное на делитель, равно делимому, то есть $(a : c) \cdot c = a$.

Так как в результате преобразований мы получили исходное делимое $a \cdot b$, тождество доказано.

Ответ:

2) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c$

Перевод на русский язык: Чтобы разделить число на произведение двух чисел, можно разделить это число на первый множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.

Анализ доказательства: Доказательство снова основано на определении деления. Проверяется, равно ли произведение частного $((a : b) : c)$ и делителя $(b \cdot c)$ исходному делимому $a$.

$((a : b) : c) \cdot (b \cdot c) = ((a : b) : c) \cdot (c \cdot b)$ — здесь применяется переместительное свойство умножения.

$((a : b) : c) \cdot (c \cdot b) = [((a : b) : c) \cdot c] \cdot b$ — здесь применяется сочетательное свойство умножения.

$[((a : b) : c) \cdot c] \cdot b = (a : b) \cdot b$ — здесь используется определение деления: частное, умноженное на делитель, дает делимое. Для выражения в скобках $((a : b) : c) \cdot c$ делимым является $(a : b)$.

$(a : b) \cdot b = a$ — здесь снова используется определение деления.

Так как в результате преобразований мы получили $a$, тождество доказано.

Ответ:

3) $a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$

Перевод на русский язык: Частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же натуральное число. Это основное свойство частного (или дроби).

Анализ доказательства: Доказательство преобразует правую часть равенства до тех пор, пока она не станет равна левой.

$(a \cdot c) : (b \cdot c) = (a \cdot c) : (c \cdot b)$ — в делителе применяется переместительное свойство умножения.

$(a \cdot c) : (c \cdot b) = ((a \cdot c) : c) : b$ — здесь используется ранее доказанное свойство деления числа на произведение (свойство 2): $x : (y \cdot z) = (x : y) : z$.

$((a \cdot c) : c) : b = a : b$ — здесь используется свойство деления произведения на число, которое является одним из множителей (по сути, это свойство, обратное свойству 1): $(a \cdot c) : c = a$. После упрощения выражения в скобках остается $a : b$.

Таким образом, правая часть равна левой, и тождество доказано.

Ответ:

4) $a : b = (a : c) : (b : c)$

Перевод на русский язык: Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число (при условии, что такое деление выполнимо нацело).

Анализ доказательства: Доказательство преобразует правую часть равенства к левой.

$(a : c) : (b : c) = ((a : c) \cdot c) : ((b : c) \cdot c)$ — здесь используется ранее доказанное основное свойство частного (свойство 3), но в обратную сторону: делимое $a:c$ и делитель $b:c$ умножаются на одно и то же число $c$.

$((a : c) \cdot c) : ((b : c) \cdot c) = a : b$ — здесь дважды применяется определение деления: в делимом $(a : c) \cdot c = a$ и в делителе $(b : c) \cdot c = b$.

Таким образом, правая часть равна левой, и тождество доказано.

Ответ:

Какое из доказательств свойства 3 тебе понравилось больше?

В задании упоминается другое доказательство свойства 3 на странице 75, но у меня нет доступа к этой странице. Поэтому я сравню доказательство из задания с другим возможным доказательством, основанным напрямую на определении деления.

Доказательство из задания: $(a \cdot c) : (b \cdot c) = (a \cdot c) : (c \cdot b) = ((a \cdot c) : c) : b = a : b$.
Это доказательство короткое, но его минус в том, что оно опирается на другое, только что доказанное свойство 2 (деление на произведение).

Альтернативное доказательство (через определение деления):
Пусть частное $a : b = k$. По определению деления, это означает, что $a = b \cdot k$.
Умножим обе части этого равенства на число $c$:
$a \cdot c = (b \cdot k) \cdot c$.
Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, преобразуем правую часть:
$a \cdot c = (b \cdot c) \cdot k$.
Теперь, снова применив определение деления к последнему равенству, получаем:
$(a \cdot c) : (b \cdot c) = k$.
Поскольку мы изначально обозначили, что $k = a : b$, мы доказали, что $a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$.

Мне больше нравится второе, альтернативное доказательство. Оно кажется более фундаментальным, так как напрямую выводит свойство из определения деления и базовых свойств умножения (сочетательного и переместительного). Оно не ссылается на другие сложные свойства, а строит логику с самых основ, что делает его более понятным и убедительным.

Ответ: