Номер 307, страница 77, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

307 Как, не производя вычислений, найти значения выражений:

1) $815 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79;$

2) $3400 - 29 + 35 + 29 - 35 - 148 + 7 + 148 - 7;$

3) $75 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6;$

4) $5020 : 94 \cdot 94 \cdot 45 \cdot 2 : 45 \cdot 57 : 57 : 2;$

5) $a + b - b + c - c;$

6) $a \cdot b : b \cdot c : c?$

1)

В выражении $815 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79 + 79 - 79$ мы видим, что после начального числа 815 несколько раз прибавляется и сразу же вычитается число 79. Операции сложения и вычитания одного и того же числа являются взаимно обратными. Каждая пара $+79 - 79$ в сумме даёт ноль. Мы можем сгруппировать их: $815 + (79 - 79) + (79 - 79) + (79 - 79) + (79 - 79)$. Так как $79 - 79 = 0$, выражение упрощается до $815 + 0 + 0 + 0 + 0$, что равно 815.
Ответ: 815.

2)

В выражении $3400 - 29 + 35 + 29 - 35 - 148 + 7 + 148 - 7$ присутствуют пары взаимно противоположных слагаемых. Используя переместительное свойство сложения, мы можем перегруппировать члены выражения: $3400 + (-29 + 29) + (35 - 35) + (-148 + 148) + (7 - 7)$. Каждая пара в скобках даёт в сумме ноль: $-29 + 29 = 0$, $35 - 35 = 0$, $-148 + 148 = 0$, $7 - 7 = 0$. В результате выражение сводится к $3400 + 0 + 0 + 0 + 0$, что равно 3400.
Ответ: 3400.

3)

Рассмотрим выражение $75 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6 \cdot 6 : 6$. Здесь последовательно выполняются операции умножения и деления на одно и то же число 6. Умножение и деление — это взаимно обратные операции. Если мы умножаем число на 6, а затем делим результат на 6, мы возвращаемся к исходному числу: $(x \cdot 6) : 6 = x$. В данном выражении эта последовательность операций повторяется многократно. $75 \cdot 6 : 6 = 75$. Затем снова $75 \cdot 6 : 6 = 75$, и так далее. После всех операций результат останется равным исходному числу 75.
Ответ: 75.

4)

В выражении $5020 : 94 \cdot 94 \cdot 45 \cdot 2 : 45 \cdot 57 : 57 : 2$ используется та же идея взаимно обратных операций умножения и деления. Будем выполнять действия по порядку:
1. $5020 : 94 \cdot 94$. Деление на 94 и последующее умножение на 94 возвращают нас к исходному числу 5020.
2. Теперь выражение выглядит так: $5020 \cdot 45 \cdot 2 : 45 \cdot 57 : 57 : 2$.
3. Следующий блок операций: $(5020 \cdot 45 \cdot 2) : 45$. Это равносильно $5020 \cdot 2 \cdot (45 : 45)$, что равно $5020 \cdot 2$.
4. Выражение упростилось до $5020 \cdot 2 \cdot 57 : 57 : 2$.
5. Далее: $(5020 \cdot 2 \cdot 57) : 57$, что равно $5020 \cdot 2$.
6. И, наконец, $(5020 \cdot 2) : 2$. Умножение и деление на 2 взаимно сокращаются.
В итоге остается 5020.
Ответ: 5020.

5)

Выражение $a + b - b + c - c$ является обобщением примеров 1 и 2. Здесь $b$ и $c$ — это переменные, но принцип тот же. Сложение и вычитание одной и той же переменной взаимно уничтожаются. Сгруппируем члены: $a + (b - b) + (c - c)$. Так как $b - b = 0$ и $c - c = 0$ для любых значений $b$ и $c$, выражение упрощается до $a + 0 + 0$, что равно $a$.
Ответ: $a$.

6)

Выражение $a \cdot b : b \cdot c : c$ — это обобщенный случай примеров 3 и 4. Предполагая, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$, мы можем упростить выражение, выполняя операции последовательно. Сначала выполняется $(a \cdot b) : b$. Умножение и деление на $b$ являются взаимно обратными операциями, поэтому результат равен $a$. Затем выражение принимает вид $a \cdot c : c$. По тому же принципу, $(a \cdot c) : c = a$. Таким образом, конечный результат равен $a$.
Ответ: $a$.