Номер 302, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

302 Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве натуральных чисел.

а) Если разность двух чисел чётна, то их сумма чётна.

б) Если разность двух чисел нечётна, то их сумма нечётна.

в) Если сумма двух чисел чётна, то они оба чётны.

г) Если сумма двух чисел чётна, то они оба нечётны.

д) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них чётно.

е) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них нечётно.

а) Если разность двух чисел чётна, то их сумма чётна.

Утверждение верно. Приведём доказательство.

Пусть $a$ и $b$ – два натуральных числа. По условию, их разность $a-b$ является чётным числом. Это означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковую чётность, то есть они либо оба чётные, либо оба нечётные.

Способ 1: Рассмотрение случаев.

Случай 1: Оба числа ($a$ и $b$) чётные.

Представим их в виде $a = 2m$ и $b = 2n$, где $m$ и $n$ – натуральные числа.

Их сумма равна $a+b = 2m+2n = 2(m+n)$. Так как $m+n$ – натуральное число, то сумма $a+b$ является чётным числом.

Случай 2: Оба числа ($a$ и $b$) нечётные.

Представим их в виде $a = 2m-1$ и $b = 2n-1$, где $m$ и $n$ – натуральные числа.

Их сумма равна $a+b = (2m-1)+(2n-1) = 2m+2n-2 = 2(m+n-1)$. Так как $m \ge 1$ и $n \ge 1$, то $m+n-1 \ge 1$, то есть $m+n-1$ – натуральное число. Следовательно, сумма $a+b$ является чётным числом.

В обоих возможных случаях сумма чисел оказывается чётной.

Способ 2: Алгебраическое доказательство.

Пусть разность $a-b$ чётна, то есть $a-b=2k$ для некоторого целого числа $k$.

Выразим сумму $a+b$ через разность: $a+b = (a-b) + 2b$.

Подставим $2k$ вместо $a-b$: $a+b = 2k + 2b = 2(k+b)$.

Поскольку $k$ – целое число, а $b$ – натуральное (а значит, и целое), их сумма $k+b$ также является целым числом. Следовательно, $a+b$ – чётное число.

Ответ: утверждение верно.

б) Если разность двух чисел нечётна, то их сумма нечётна.

Утверждение верно. Приведём доказательство.

Пусть $a$ и $b$ – два натуральных числа. По условию, их разность $a-b$ является нечётным числом. Это означает, что числа $a$ и $b$ имеют разную чётность, то есть одно из них чётное, а другое – нечётное.

Способ 1: Рассмотрение случаев.

Случай 1: $a$ – чётное, $b$ – нечётное.

Пусть $a = 2m$ и $b = 2n-1$, где $m, n$ – натуральные числа.

Их сумма равна $a+b = 2m + (2n-1) = 2(m+n)-1 = 2(m+n-1)+1$. Так как $m+n-1$ – натуральное число, сумма $a+b$ является нечётным числом.

Случай 2: $a$ – нечётное, $b$ – чётное.

Пусть $a = 2m-1$ и $b = 2n$, где $m, n$ – натуральные числа.

Их сумма равна $a+b = (2m-1) + 2n = 2(m+n)-1 = 2(m+n-1)+1$. Сумма $a+b$ также является нечётным числом.

В обоих возможных случаях сумма чисел оказывается нечётной.

Способ 2: Алгебраическое доказательство.

Пусть разность $a-b$ нечётна, то есть $a-b=2k+1$ для некоторого целого числа $k$.

Выразим сумму $a+b$ через разность: $a+b = (a-b) + 2b$.

Подставим $2k+1$ вместо $a-b$: $a+b = (2k+1) + 2b = 2(k+b)+1$.

Поскольку $k+b$ – целое число, то выражение $2(k+b)+1$ по определению является нечётным числом.

Ответ: утверждение верно.

в) Если сумма двух чисел чётна, то они оба чётны.

Утверждение неверно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести один контрпример.

Сумма двух чисел чётна, если эти числа имеют одинаковую чётность. Они могут быть оба чётными, но также могут быть и оба нечётными. Утверждение не учитывает второй случай.

Контрпример:

Возьмём два нечётных натуральных числа: $a=3$ и $b=5$.

Их сумма $a+b = 3+5=8$.

Сумма (8) является чётным числом, но исходные числа $a$ и $b$ не являются чётными. Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: утверждение неверно.

г) Если сумма двух чисел чётна, то они оба нечётны.

Утверждение неверно. Опровергнем его с помощью контрпримера.

Сумма двух чисел чётна, если эти числа имеют одинаковую чётность. Они могут быть оба нечётными, но также могут быть и оба чётными. Утверждение не учитывает второй случай.

Контрпример:

Возьмём два чётных натуральных числа: $a=2$ и $b=4$.

Их сумма $a+b = 2+4=6$.

Сумма (6) является чётным числом, но исходные числа $a$ и $b$ не являются нечётными. Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: утверждение неверно.

д) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них чётно.

Утверждение неверно. Опровергнем его с помощью контрпримера.

Сумма двух чисел чётна, если они имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Утверждение будет ложным, если мы найдём два числа с чётной суммой, среди которых нет ни одного чётного.

Контрпример:

Возьмём два нечётных числа: $a=1$ и $b=3$.

Их сумма $a+b = 1+3=4$. Сумма чётная.

Однако ни число $a=1$, ни число $b=3$ не является чётным. Таким образом, условие "хотя бы одно из них чётно" не выполняется.

Ответ: утверждение неверно.

е) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них нечётно.

Утверждение неверно. Опровергнем его с помощью контрпримера.

Сумма двух чисел чётна, если они имеют одинаковую чётность. Утверждение будет ложным, если мы найдём два числа с чётной суммой, среди которых нет ни одного нечётного.

Контрпример:

Возьмём два чётных числа: $a=2$ и $b=6$.

Их сумма $a+b = 2+6=8$. Сумма чётная.

Однако ни число $a=2$, ни число $b=6$ не является нечётным. Таким образом, условие "хотя бы одно из них нечётно" не выполняется.

Ответ: утверждение неверно.