Номер 300, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

300 Докажи, что для натуральных чисел верны утверждения.

а) Сумма двух чётных чисел – число чётное.

б) Сумма любых двух соседних чисел – число нечётное.

в) Разность чётного и нечётного чисел – число нечётное.

г) Произведение любых двух соседних чисел – число чётное.

а) Сумма двух чётных чисел – число чётное.

Пусть у нас есть два чётных натуральных числа, назовём их $a$ и $b$. По определению, чётное число делится на 2 без остатка, поэтому мы можем представить их в виде $a = 2m$ и $b = 2n$, где $m$ и $n$ – некоторые натуральные числа.

Найдём их сумму: $a + b = 2m + 2n$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2m + 2n = 2(m + n)$.

Поскольку $m$ и $n$ – натуральные числа, их сумма $(m + n)$ также является натуральным числом. Обозначим это новое число как $k = m + n$. Тогда сумма исходных чисел равна $2k$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения двойки и целого числа, является чётным. Следовательно, сумма $a + b$ является чётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Сумма любых двух соседних чисел – число нечётное.

Возьмём два любых соседних натуральных числа. Если первое число обозначить как $n$, то следующее за ним будет $n + 1$.

Найдём их сумму: $n + (n + 1)$.

Упростим выражение: $n + n + 1 = 2n + 1$.

По определению, нечётное число – это число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое число вида $2k + 1$, где $k$ – целое число, является нечётным. В нашем случае мы получили выражение $2n + 1$, которое полностью соответствует формуле нечётного числа (здесь $k=n$, где $n$ – натуральное число).

Следовательно, сумма любых двух соседних натуральных чисел всегда является нечётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Разность чётного и нечётного чисел – число нечётное.

Пусть у нас есть чётное число $a$ и нечётное число $b$. Мы можем представить их в виде $a = 2m$ и $b = 2n + 1$, где $m$ и $n$ – целые числа. (Мы используем целые числа, чтобы разность была определена для любых пар, включая случаи, когда вычитаемое больше уменьшаемого).

Рассмотрим их разность: $a - b = 2m - (2n + 1) = 2m - 2n - 1$.

Сгруппируем члены с двойкой: $(2m - 2n) - 1 = 2(m - n) - 1$.

Обозначим $k = m - n$. Тогда разность равна $2k - 1$. Это выражение можно переписать как $2(k-1) + 2 - 1 = 2(k-1) + 1$. Любое число такого вида является нечётным.

Если рассмотреть разность в другом порядке $b - a$, получим: $b - a = (2n + 1) - 2m = 2n - 2m + 1 = 2(n - m) + 1$. Обозначив $k' = n - m$, мы получаем $2k' + 1$, что по определению является нечётным числом.

Таким образом, разность чётного и нечётного числа (в любом порядке) всегда является нечётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Произведение любых двух соседних чисел – число чётное.

Возьмём два любых соседних натуральных числа: $n$ и $n + 1$. Их произведение равно $n(n + 1)$.

Рассмотрим два возможных случая для числа $n$.

Случай 1: Число $n$ – чётное.
Если $n$ чётное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ – натуральное число. Тогда произведение равно $(2k)(2k + 1) = 2 \cdot [k(2k + 1)]$. Так как произведение содержит множитель 2, оно является чётным.

Случай 2: Число $n$ – нечётное.
Если $n$ нечётное, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным. Его можно представить в виде $n + 1 = 2k$, где $k$ – натуральное число. Тогда произведение равно $n(n + 1) = n \cdot (2k) = 2(nk)$. Так как произведение содержит множитель 2, оно также является чётным.

Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные варианты. В обоих случаях произведение оказалось чётным. Следовательно, произведение любых двух соседних чисел всегда является чётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.