Номер 301, страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

301 Запиши предложения в тетради и закончи их так, чтобы они были верны на множестве натуральных чисел. Докажи их.

а) Сумма чётного и нечётного чисел – число __________

б) Сумма любых двух нечётных чисел – число __________

в) Разность любых двух нечётных чисел – число __________

г) Произведение чётного и нечётного чисел – число __________

а) Сумма чётного и нечётного чисел — число нечётное.

Доказательство. Пусть чётное натуральное число можно представить как $2k$, а нечётное натуральное число как $2m-1$, где $k$ и $m$ являются натуральными числами. Тогда их сумма равна $2k + (2m-1) = 2k + 2m - 1 = 2(k+m)-1$. Так как $k+m$ является натуральным числом, то выражение $2(k+m)-1$ является нечётным числом по определению.

Ответ: нечётное.

б) Сумма любых двух нечётных чисел — число чётное.

Доказательство. Пусть два нечётных натуральных числа можно представить как $2k-1$ и $2m-1$, где $k$ и $m$ являются натуральными числами. Их сумма равна $(2k-1) + (2m-1) = 2k + 2m - 2 = 2(k+m-1)$. Так как $k \ge 1$ и $m \ge 1$, то $k+m-1$ является натуральным числом. Выражение вида $2p$, где $p$ — натуральное число, является чётным числом.

Ответ: чётное.

в) Разность любых двух нечётных чисел — число чётное.

Доказательство. Пусть два нечётных натуральных числа можно представить как $2k-1$ и $2m-1$, где $k$ и $m$ являются натуральными числами. Их разность равна $(2k-1) - (2m-1) = 2k - 1 - 2m + 1 = 2(k-m)$. Результат является произведением числа 2 и целого числа $k-m$, следовательно, разность всегда является чётным числом.

Ответ: чётное.

г) Произведение чётного и нечётного чисел — число чётное.

Доказательство. Пусть чётное натуральное число равно $2k$, а нечётное натуральное число равно $2m-1$, где $k$ и $m$ — натуральные числа. Их произведение равно $(2k) \cdot (2m-1) = 2 \cdot [k(2m-1)]$. Поскольку произведение содержит множитель 2, оно всегда делится на 2, а значит, является чётным числом.

Ответ: чётное.