Номер 304, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

304 Заполни пробелы и докажи получившиеся утверждения.

1) Если делимое увеличить в 3 раза, а делитель оставить без изменения, то частное _________.

2) Если делимое уменьшить в 2 раза, а делитель оставить без изменения, то частное _________.

3) Если делитель увеличить в 2 раза, а делимое оставить без изменения, то частное _________.

4) Если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то частное _________.

1) Если делимое увеличить в 3 раза, а делитель оставить без изменения, то частное увеличится в 3 раза.
Доказательство:
Пусть исходное деление можно записать как $a \div b = c$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, а $c$ – частное.
Согласно условию, новое делимое равно $3 \times a$, а делитель $b$ остается без изменений.
Найдем новое частное: $(3 \times a) \div b$.
Используя свойства деления, мы можем переписать это выражение как $3 \times (a \div b)$.
Поскольку мы знаем, что $a \div b = c$, то новое частное будет равно $3 \times c$.
Следовательно, частное увеличилось в 3 раза.
Ответ: увеличится в 3 раза.

2) Если делимое уменьшить в 2 раза, а делитель оставить без изменения, то частное уменьшится в 2 раза.
Доказательство:
Пусть исходное деление $a \div b = c$.
Новое делимое равно $a \div 2$, а делитель $b$ не изменяется.
Найдем новое частное: $(a \div 2) \div b$.
Это выражение можно переписать как $(a \div b) \div 2$.
Так как $a \div b = c$, то новое частное будет равно $c \div 2$.
Следовательно, частное уменьшилось в 2 раза.
Ответ: уменьшится в 2 раза.

3) Если делитель увеличить в 2 раза, а делимое оставить без изменения, то частное уменьшится в 2 раза.
Доказательство:
Пусть исходное деление $a \div b = c$.
Делимое $a$ остается без изменений, а новый делитель равен $2 \times b$.
Найдем новое частное: $a \div (2 \times b)$.
Это выражение можно переписать как $(a \div b) \div 2$.
Так как $a \div b = c$, то новое частное будет равно $c \div 2$.
Следовательно, частное уменьшилось в 2 раза.
Ответ: уменьшится в 2 раза.

4) Если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то частное не изменится.
Доказательство:
Это основное свойство частного (или дроби).
Пусть исходное деление $a \div b = c$. Пусть $n$ – число, отличное от нуля, на которое мы делим делимое и делитель.
Новое делимое равно $a \div n$, а новый делитель – $b \div n$.
Найдем новое частное: $(a \div n) \div (b \div n)$.
Запишем это выражение в виде дроби: $\frac{a \div n}{b \div n}$.
Используя основное свойство дроби, мы можем умножить числитель и знаменатель на одно и то же число $n$: $\frac{(a \div n) \times n}{(b \div n) \times n} = \frac{a}{b}$.
Так как $\frac{a}{b}$ – это исходное частное $c$, то частное не изменилось.
Ответ: не изменится.