Номер 305, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

305 Докажи утверждения.

1) Если каждое из двух чисел делится на 3, то и их сумма делится на 3.

2) Если одно из двух чисел делится на 5, то и их произведение делится на 5.

3) Если одно из чисел делится на 4, а другое нет, то их сумма не делится на 4.

4) Если одно из чисел делится на 6, а другое нет, то их разность не делится на 6.

1)

Пусть даны два числа, $a$ и $b$. По условию, каждое из них делится на 3. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $a = 3k$ и $b = 3m$.

Найдем сумму этих чисел:

$a + b = 3k + 3m$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$a + b = 3(k + m)$.

Так как $k$ и $m$ являются целыми числами, их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Если мы обозначим $p = k + m$, то получим $a + b = 3p$.

Это выражение показывает, что сумма $a + b$ является произведением числа 3 и целого числа $p$, а значит, она делится на 3. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

2)

Пусть даны два числа, $a$ и $b$. По условию, одно из них делится на 5. Допустим, что число $a$ делится на 5. Это значит, что существует такое целое число $k$, что $a = 5k$.

Найдем произведение этих чисел:

$a \cdot b = (5k) \cdot b$.

Используя сочетательный закон умножения, перегруппируем множители:

$a \cdot b = 5(k \cdot b)$.

Поскольку $k$ и $b$ — целые числа, их произведение $(k \cdot b)$ также является целым числом. Обозначим $p = k \cdot b$. Тогда $a \cdot b = 5p$.

Это означает, что произведение $a \cdot b$ делится на 5. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

3)

Пусть даны два числа, $a$ и $b$. По условию, одно из них делится на 4, а другое нет. Пусть $a$ делится на 4, а $b$ не делится на 4.

Это значит, что $a$ можно представить в виде $a = 4k$, где $k$ — целое число.

Число $b$, не делящееся на 4, при делении на 4 дает ненулевой остаток (1, 2 или 3). То есть $b = 4m + r$, где $m$ — целое число, а $r \in \{1, 2, 3\}$.

Найдем сумму этих чисел:

$a + b = 4k + (4m + r) = 4k + 4m + r = 4(k + m) + r$.

В полученном выражении первое слагаемое $4(k+m)$ делится на 4, а второе слагаемое $r$ на 4 не делится, так как $r$ — это 1, 2 или 3. Сумма числа, делящегося на 4, и числа, не делящегося на 4, не делится на 4. Таким образом, сумма $a+b$ не делится на 4. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

4)

Пусть даны два числа, $a$ и $b$. По условию, одно из них делится на 6, а другое нет. Пусть $a$ делится на 6, а $b$ не делится на 6.

Это значит, что $a = 6k$ для некоторого целого числа $k$.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что их разность делится на 6.

Рассмотрим разность $a - b$. Если она делится на 6, то $a - b = 6m$ для некоторого целого числа $m$.

Выразим из этого равенства $b$:

$b = a - 6m$.

Подставим выражение для $a$:

$b = 6k - 6m = 6(k - m)$.

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $(k-m)$ тоже целое число. Это означает, что $b$ делится на 6, что противоречит нашему начальному условию (что $b$ не делится на 6).

Если рассмотреть разность $b - a$, то, предположив, что она делится на 6, мы получим $b-a=6p$, откуда $b = a+6p = 6k+6p = 6(k+p)$, что также приводит к противоречию.

Следовательно, наше предположение было неверным, и разность этих чисел не может делиться на 6. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.