Номер 313, страница 78, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

313 БЛИЦтурнир

1) Автобус обычно проходит $s$ км за 4 ч. Однако он ехал со скоростью на 5 км/ч меньше обычной. Какое время затратил автобус на весь путь?

2) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную $a$ м$^2$. Длина первого прямоугольника $b$ м, а длина второго – на 14 м больше. На сколько ширина второго прямоугольника меньше ширины первого прямоугольника?

3) Одна сторона треугольника равна $c$ м, вторая составляет $\frac{4}{5}$ длины первой стороны, а третья – 25% длины первой стороны. Чему равен периметр треугольника?

4) На одной полке стоит $d$ книг, что составляет $\frac{2}{3}$ книг, стоящих на второй полке, и 80% книг, стоящих на третьей полке. Сколько книг стоит на всех трёх полках вместе?

5) У Саши было $n$ р. Он купил альбом за $k$ р. и 3 тетради, цена которых в 2 раза меньше цены альбома. На оставшиеся деньги он купил 5 одинаковых карандашей. Сколько стоит один карандаш?

6) Бабушка испекла $x$ пирожков. Из них с рисом было $y$ пирожков, с мясом – в 2 раза больше, чем с рисом, а остальные пирожки были с капустой. Треть пирожков с капустой бабушка раздала поровну своим четверым внукам. Сколько пирожков получил каждый внук?

1)

Сначала найдем обычную скорость автобуса. Она равна расстоянию, деленному на время: $v_{обыч} = s / 4$ км/ч.

Новая скорость автобуса на 5 км/ч меньше обычной: $v_{новая} = v_{обыч} - 5 = \frac{s}{4} - 5$ км/ч.

Приведем выражение для новой скорости к общему знаменателю: $v_{новая} = \frac{s - 20}{4}$ км/ч.

Чтобы найти время, которое автобус затратил на весь путь с новой скоростью, нужно расстояние разделить на новую скорость: $t_{новое} = \frac{s}{v_{новая}} = \frac{s}{(s - 20) / 4}$.

Упростим выражение: $t_{новое} = \frac{4s}{s - 20}$ ч.
Ответ: $\frac{4s}{s-20}$ ч.

2)

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину ($S = l \cdot w$), откуда ширина $w = S/l$.

Площадь обоих прямоугольников равна $a$ м².

Длина первого прямоугольника $l_1 = b$ м. Его ширина $w_1 = \frac{a}{b}$ м.

Длина второго прямоугольника на 14 м больше, то есть $l_2 = b + 14$ м. Его ширина $w_2 = \frac{a}{b+14}$ м.

Чтобы найти, на сколько ширина второго прямоугольника меньше ширины первого, вычтем ширину второго из ширины первого: $w_1 - w_2 = \frac{a}{b} - \frac{a}{b+14}$.

Приведем к общему знаменателю: $w_1 - w_2 = \frac{a(b+14) - ab}{b(b+14)} = \frac{ab + 14a - ab}{b(b+14)} = \frac{14a}{b(b+14)}$ м.
Ответ: на $\frac{14a}{b(b+14)}$ м.

3)

Пусть стороны треугольника равны $a_1, a_2, a_3$.

Первая сторона $a_1 = c$ м.

Вторая сторона составляет $\frac{4}{5}$ длины первой, то есть $a_2 = \frac{4}{5}c$ м.

Третья сторона составляет 25% длины первой. Переведем проценты в дробь: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Значит, $a_3 = \frac{1}{4}c$ м.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a_1 + a_2 + a_3 = c + \frac{4}{5}c + \frac{1}{4}c$.

Вынесем $c$ за скобки и сложим дроби: $P = c \cdot (1 + \frac{4}{5} + \frac{1}{4}) = c \cdot (\frac{20}{20} + \frac{16}{20} + \frac{5}{20}) = c \cdot \frac{20+16+5}{20} = \frac{41}{20}c$ м.

Можно также представить в виде десятичной дроби: $P = 2.05c$ м.
Ответ: $2.05c$ м.

4)

Пусть количество книг на первой, второй и третьей полках равно $N_1, N_2, N_3$ соответственно.

На первой полке стоит $N_1 = d$ книг.

Это количество составляет $\frac{2}{3}$ книг на второй полке: $d = \frac{2}{3} N_2$. Отсюда $N_2 = \frac{d}{2/3} = \frac{3}{2}d = 1.5d$ книг.

Это же количество $d$ составляет 80% книг на третьей полке. $80\% = 0.8$. Значит, $d = 0.8 N_3$. Отсюда $N_3 = \frac{d}{0.8} = \frac{d}{4/5} = \frac{5}{4}d = 1.25d$ книг.

Общее количество книг на трех полках: $N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 = d + 1.5d + 1.25d = 3.75d$ книг.

В виде обыкновенной дроби: $N_{общ} = d + \frac{3}{2}d + \frac{5}{4}d = d(\frac{4}{4} + \frac{6}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{15}{4}d$ книг.
Ответ: $3.75d$ книг.

5)

У Саши было $n$ р.

Цена альбома — $k$ р.

Цена тетради в 2 раза меньше цены альбома, то есть $\frac{k}{2}$ р.

Стоимость 3 тетрадей: $3 \cdot \frac{k}{2} = \frac{3k}{2}$ р.

Всего Саша потратил на альбом и тетради: $k + \frac{3k}{2} = \frac{2k}{2} + \frac{3k}{2} = \frac{5k}{2}$ р.

После покупки у него осталось: $n - \frac{5k}{2}$ р.

На эти деньги он купил 5 одинаковых карандашей. Чтобы найти цену одного карандаша, разделим оставшиеся деньги на 5:

Цена карандаша = $\frac{n - \frac{5k}{2}}{5} = \frac{n}{5} - \frac{5k}{2 \cdot 5} = \frac{n}{5} - \frac{k}{2}$ р.
Ответ: $\frac{n}{5} - \frac{k}{2}$ р.

6)

Всего бабушка испекла $x$ пирожков.

С рисом было $y$ пирожков.

С мясом было в 2 раза больше, чем с рисом, то есть $2y$ пирожков.

Количество пирожков с капустой равно общему количеству минус пирожки с рисом и мясом: $x - (y + 2y) = x - 3y$ пирожков.

Бабушка раздала внукам треть пирожков с капустой, то есть $\frac{1}{3}(x - 3y)$ пирожков.

Эту часть она разделила поровну между четырьмя внуками. Чтобы найти, сколько получил каждый, разделим количество розданных пирожков на 4:

$\frac{\frac{1}{3}(x - 3y)}{4} = \frac{x-3y}{3 \cdot 4} = \frac{x-3y}{12}$ пирожков.
Ответ: $\frac{x-3y}{12}$ пирожков.