Номер 399, страница 93, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

399 Сколько делителей числа 333 333 333 ты сможешь найти?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо найти общее количество натуральных делителей числа $333\ 333\ 333\ 333$. Для этого разложим данное число на простые множители.

Пусть $N = 333\ 333\ 333\ 333$.

1. Упрощение представления числа

Мы можем вынести общий множитель $3$ за скобки:

$N = 3 \times 111\ 111\ 111\ 111$

Число $111\ 111\ 111\ 111$ состоит из 12 единиц. Такие числа, состоящие только из единиц, называются репьюнитами. Обозначим число из $k$ единиц как $R_k$. Тогда наше число можно записать как $N = 3 \times R_{12}$.

2. Разложение на множители $R_{12}$

Число $R_{12}$ можно представить в виде произведения:

$R_{12} = 111\ 111 \times 1\ 000\ 001 = R_6 \times (10^6 + 1)$

Теперь разложим на простые множители каждую из этих частей.

а) Разложение $R_6 = 111\ 111$:

$R_6 = 111 \times 1001$

Разложим $111$: $111 = 3 \times 37$ (где $3$ и $37$ — простые числа).

Разложим $1001$: $1001 = 7 \times 143 = 7 \times 11 \times 13$ (где $7$, $11$, $13$ — простые числа).

Следовательно, $R_6 = 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$.

б) Разложение $1\ 000\ 001$:

Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, представим $1\ 000\ 001$ как $10^6 + 1$:

$10^6 + 1 = (10^2)^3 + 1^3 = (10^2 + 1)((10^2)^2 - 10^2 \cdot 1 + 1^2)$

$10^6 + 1 = (101) \times (10000 - 100 + 1) = 101 \times 9901$.

Числа $101$ и $9901$ являются простыми.

3. Конечное разложение числа N на простые множители

Теперь соберем все полученные множители вместе, чтобы получить разложение для $R_{12}$:

$R_{12} = R_6 \times (10^6+1) = (3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37) \times (101 \times 9901)$.

Подставим это в выражение для $N$:

$N = 3 \times R_{12} = 3 \times (3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9901)$

Сгруппировав одинаковые простые множители, получим каноническое разложение числа $N$:

$N = 3^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1 \times 37^1 \times 101^1 \times 9901^1$

4. Расчет количества делителей

Если число имеет каноническое разложение $p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$, то общее количество его натуральных делителей, обозначаемое $\tau(N)$, вычисляется по формуле:

$\tau(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$

В нашем случае степени простых множителей равны $2, 1, 1, 1, 1, 1, 1$. Подставим их в формулу:

$\tau(N) = (2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)$

$\tau(N) = 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 3 \times 2^6$

$\tau(N) = 3 \times 64 = 192$

Таким образом, у числа $333\ 333\ 333\ 333$ существует 192 натуральных делителя.

Ответ: 192.