Номер 508, страница 110, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

508 Докажи истинность утверждения и найди частное ($a, b, c, x, y \in N$):

1) сумма $56056 + 112$ делится на $56$;

2) разность $474747 - 47 \cdot 5$ делится на $47$;

3) разность $16xy - 72$ делится на $8$;

4) сумма $3abc + 19a$ делится на $a$.

1) Чтобы доказать, что сумма $56056 + 112$ делится на $56$, воспользуемся свойством делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Первое слагаемое $56056$ делится на $56$, так как $56056 = 56 \cdot 1001$.
Второе слагаемое $112$ также делится на $56$, так как $112 = 56 \cdot 2$.
Поскольку оба слагаемых делятся на $56$, то и их сумма делится на $56$. Утверждение истинно.
Теперь найдем частное, используя распределительное свойство деления:
$(56056 + 112) \div 56 = (56056 \div 56) + (112 \div 56) = 1001 + 2 = 1003$.
Ответ: $1003$.

2) Чтобы доказать, что разность $474747 - 47 \cdot 5$ делится на $47$, воспользуемся свойством делимости разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.
Уменьшаемое $474747$ делится на $47$, так как $474747 = 47 \cdot 10101$.
Вычитаемое $47 \cdot 5$ очевидно делится на $47$, так как является произведением с множителем $47$.
Поскольку уменьшаемое и вычитаемое делятся на $47$, то и их разность делится на $47$. Утверждение истинно.
Найдем частное:
$(474747 - 47 \cdot 5) \div 47 = (474747 \div 47) - (47 \cdot 5 \div 47) = 10101 - 5 = 10096$.
Ответ: $10096$.

3) Чтобы доказать, что разность $16xy - 72$ делится на $8$, воспользуемся свойством делимости разности.
Уменьшаемое $16xy$ делится на $8$, так как один из его множителей, $16$, делится на $8$ ($16 = 8 \cdot 2$). Следовательно, $16xy = 8 \cdot (2xy)$, что делится на $8$ при любых натуральных $x$ и $y$.
Вычитаемое $72$ также делится на $8$, так как $72 = 8 \cdot 9$.
Поскольку уменьшаемое и вычитаемое делятся на $8$, то и их разность делится на $8$. Утверждение истинно.
Найдем частное:
$(16xy - 72) \div 8 = (16xy \div 8) - (72 \div 8) = 2xy - 9$.
Ответ: $2xy - 9$.

4) Чтобы доказать, что сумма $3abc + 19a$ делится на $a$, воспользуемся свойством делимости суммы.
Первое слагаемое $3abc$ содержит множитель $a$, поэтому оно делится на $a$. ($3abc = a \cdot (3bc)$).
Второе слагаемое $19a$ также содержит множитель $a$, поэтому оно делится на $a$. ($19a = a \cdot 19$).
Поскольку оба слагаемых делятся на $a$, то и их сумма делится на $a$. Утверждение истинно.
Найдем частное:
$(3abc + 19a) \div a = (3abc \div a) + (19a \div a) = 3bc + 19$.
Ответ: $3bc + 19$.