Номер 538, страница 115, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

538 Докажи или опровергни утверждения.

1) Если число делится на 10, то оно делится на 5.

2) Если число делится на 5, то оно делится на 10.

3) Если число делится на 10, то оно делится на 2.

4) Если число делится на 2, то оно делится на 10.

5) Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.

6) Если число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10.

Какие из этих утверждений можно объединить в одно с помощью словосочетания «в том и только в том случае»? Сформулируй новые утверждения и определи их истинность.

1) Пусть число $a$ делится на 10. Это означает, что $a$ можно представить в виде $a = 10 \cdot k$, где $k$ — целое число. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, мы можем переписать это как $a = 5 \cdot (2k)$. Так как $2k$ — это тоже целое число, то число $a$ делится на 5. Утверждение истинно.
Ответ: утверждение истинно.

2) Утверждение ложно. В качестве контрпримера можно привести число 15. Оно делится на 5, так как $15 = 5 \cdot 3$, но не делится на 10 без остатка, так как $15 \div 10 = 1.5$.
Ответ: утверждение ложно.

3) Пусть число $a$ делится на 10. Это означает, что $a = 10 \cdot k$, где $k$ — целое число. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, мы можем переписать это как $a = 2 \cdot (5k)$. Так как $5k$ — это тоже целое число, то число $a$ делится на 2. Утверждение истинно.
Ответ: утверждение истинно.

4) Утверждение ложно. В качестве контрпримера можно привести число 4. Оно делится на 2, так как $4 = 2 \cdot 2$, но не делится на 10 без остатка, так как $4 \div 10 = 0.4$.
Ответ: утверждение ложно.

5) Пусть число $a$ делится на 10. Это значит, что $a$ является кратным 10. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то число $a$ также является кратным и 2, и 5. То есть, оно делится и на 2, и на 5. Утверждение истинно.
Ответ: утверждение истинно.

6) Пусть число $a$ делится на 2 и на 5. Поскольку числа 2 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), то число $a$ должно делиться на их произведение, то есть на $2 \cdot 5 = 10$. Утверждение истинно.
Ответ: утверждение истинно.

Объединить два утверждения «Если А, то Б» и «Если Б, то А» в одно «А в том и только в том случае, если Б» можно тогда, когда оба исходных утверждения истинны. Проанализируем пары взаимно обратных утверждений из задачи:

• Утверждения 1 и 2. Новое утверждение: «Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно делится на 5». Это утверждение ложно, так как утверждение 2 («Если число делится на 5, то оно делится на 10») ложно.
• Утверждения 3 и 4. Новое утверждение: «Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно делится на 2». Это утверждение ложно, так как утверждение 4 («Если число делится на 2, то оно делится на 10») ложно.
• Утверждения 5 и 6. Новое утверждение: «Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно делится на 2 и на 5». Это утверждение истинно, так как оба исходных утверждения (5 и 6) истинны.

Ответ: можно объединить утверждения 5 и 6. Новое утверждение «Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно делится на 2 и на 5» является истинным.