Номер 540, страница 116, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

540 Докажи, что выражение $2935c + 16000d$ кратно 5 при любых значениях переменных $c$ и $d$.

Чтобы доказать, что выражение $2935c + 16000d$ кратно 5 при любых значениях переменных $c$ и $d$, необходимо показать, что оно делится на 5 без остатка. Для этого можно использовать свойства делимости.

Воспользуемся свойством делимости суммы: если каждое слагаемое в сумме кратно некоторому числу, то и вся сумма кратна этому числу.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $2935c$.

Числовой коэффициент 2935 оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, любое целое число, запись которого оканчивается на 0 или 5, делится на 5. Следовательно, 2935 кратно 5. А значит, и произведение $2935c$ кратно 5 при любом значении $c$.

2. Рассмотрим второе слагаемое: $16000d$.

Числовой коэффициент 16000 оканчивается на цифру 0. Следовательно, 16000 также кратно 5. А значит, и произведение $16000d$ кратно 5 при любом значении $d$.

Поскольку оба слагаемых в выражении, $2935c$ и $16000d$, кратны 5, то их сумма $2935c + 16000d$ также кратна 5 при любых значениях $c$ и $d$.

Это доказательство можно также продемонстрировать, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$2935c + 16000d = (5 \cdot 587)c + (5 \cdot 3200)d = 5(587c + 3200d)$

Исходное выражение представлено в виде произведения, где один из множителей равен 5. Если предположить, что $c$ и $d$ — целые числа, то выражение в скобках $(587c + 3200d)$ также будет целым числом. По определению, произведение целого числа на 5 всегда кратно 5. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Так как коэффициенты 2935 и 16000 делятся на 5, то каждое слагаемое ($2935c$ и $16000d$) делится на 5, а значит и вся сумма делится на 5. Это также следует из преобразования выражения к виду $5(587c + 3200d)$, которое показывает, что все выражение кратно 5 при любых значениях $c$ и $d$, что и требовалось доказать.