Номер 547, страница 116, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

547 Сформулируй и докажи признаки делимости на 8 и на 125 с помощью идеи, предложенной в пункте 1.

Признак делимости на 8

Сформулируем признак: Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя последними его цифрами, делится на 8.

Доказательство:

Идея, на которой основывается доказательство (и которая, по-видимому, предложена в пункте 1), заключается в представлении числа в виде суммы, одно из слагаемых которой заведомо делится на искомый делитель.

Любое натуральное число $N$, имеющее более трех цифр, можно представить в виде суммы:

$N = 1000 \cdot a + b$,

где $b$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$, а $a$ — это число, полученное из $N$ отбрасыванием этих трех последних цифр (то есть, количество полных тысяч в числе $N$).

Например, для числа $12345$ имеем $a = 12$ и $b = 345$, то есть $12345 = 1000 \cdot 12 + 345$.

Рассмотрим полученную сумму $N = 1000a + b$. Первое слагаемое, $1000a$, всегда делится на 8, так как $1000 = 125 \cdot 8$. Следовательно, $1000a = (125 \cdot 8) \cdot a = 8 \cdot (125a)$, что очевидно делится на 8 при любом целом $a$.

Поскольку первое слагаемое ($1000a$) делится на 8, то вся сумма ($1000a + b$) будет делиться на 8 тогда и только тогда, когда второе слагаемое ($b$) делится на 8. А $b$ — это и есть число, образованное тремя последними цифрами исходного числа $N$.

Если исходное число имеет три или менее цифры, то $a=0$ и $N=b$, и признак очевидно выполняется, так как требуется проверить делимость самого числа на 8.

Таким образом, для проверки делимости числа $N$ на 8 достаточно проверить делимость на 8 числа, составленного из трех его последних цифр.

Ответ: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 125

Сформулируем признак: Натуральное число делится на 125 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя последними его цифрами, делится на 125.

Доказательство:

Доказательство этого признака полностью аналогично доказательству признака делимости на 8 и использует ту же идею.

Представим число $N$ в виде:

$N = 1000 \cdot a + b$,

где $b$ — число, образованное тремя последними цифрами числа $N$.

Первое слагаемое, $1000a$, всегда делится на 125, так как $1000 = 8 \cdot 125$. Следовательно, $1000a = (8 \cdot 125) \cdot a = 125 \cdot (8a)$, что очевидно делится на 125 при любом целом $a$.

Так как первое слагаемое ($1000a$) делится на 125, то вся сумма ($1000a + b$) будет делиться на 125 тогда и только тогда, когда второе слагаемое ($b$) делится на 125.

Следовательно, для проверки делимости числа $N$ на 125 достаточно проверить, делится ли на 125 число, составленное из трех его последних цифр.

Ответ: число делится на 125, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125.