Номер 541, страница 116, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

541 Запиши три пары значений переменных $x$ и $y$, при которых значение выражения $12x + 45y$:

1) делится на 2;

2) не делится на 5;

3) делится на 2 и на 5;

4) не делится ни на 2, ни на 5.

Для каждого случая сформулируй принцип подбора пар в общем виде.

1) делится на 2;

Проанализируем выражение $12x + 45y$. Слагаемое $12x$ всегда является четным числом, так как $12x = 2 \cdot 6x$, и оно делится на 2 при любом целом $x$. Сумма является четной, если оба слагаемых имеют одинаковую четность. Поскольку $12x$ всегда четное, для того чтобы вся сумма $12x + 45y$ была четной (делилась на 2), слагаемое $45y$ также должно быть четным. Произведение $45y$ будет четным только в том случае, если переменная $y$ является четным числом, так как 45 — нечетное число.

Принцип подбора пар в общем виде: переменная $y$ должна быть четным числом (например, $y = 2k$, где $k$ — любое целое число), а переменная $x$ может быть любым целым числом.

Примеры:
- пара $(1, 2)$: $12 \cdot 1 + 45 \cdot 2 = 12 + 90 = 102$; $102$ делится на 2.
- пара $(3, 0)$: $12 \cdot 3 + 45 \cdot 0 = 36 + 0 = 36$; $36$ делится на 2.
- пара $(-1, 4)$: $12 \cdot (-1) + 45 \cdot 4 = -12 + 180 = 168$; $168$ делится на 2.

Ответ: $(1, 2)$, $(3, 0)$, $(-1, 4)$.

2) не делится на 5;

Рассмотрим делимость выражения $12x + 45y$ на 5. Слагаемое $45y$ всегда делится на 5, так как $45y = 5 \cdot 9y$. Если одно слагаемое в сумме делится на некоторое число, а другое — нет, то и вся сумма не делится на это число. Чтобы сумма $12x + 45y$ не делилась на 5, необходимо, чтобы слагаемое $12x$ не делилось на 5. Так как числа 12 и 5 взаимно простые, произведение $12x$ не будет делиться на 5 только в том случае, если $x$ не делится на 5.

Принцип подбора пар в общем виде: переменная $x$ не должна быть кратна 5 (т.е. $x$ не может быть числом, оканчивающимся на 0 или 5), а переменная $y$ может быть любым целым числом.

Примеры:
- пара $(1, 1)$: $12 \cdot 1 + 45 \cdot 1 = 12 + 45 = 57$; $57$ не делится на 5.
- пара $(2, 0)$: $12 \cdot 2 + 45 \cdot 0 = 24 + 0 = 24$; $24$ не делится на 5.
- пара $(-3, 2)$: $12 \cdot (-3) + 45 \cdot 2 = -36 + 90 = 54$; $54$ не делится на 5.

Ответ: $(1, 1)$, $(2, 0)$, $(-3, 2)$.

3) делится на 2 и на 5;

Чтобы значение выражения делилось одновременно на 2 и на 5, оно должно удовлетворять условиям делимости на каждое из этих чисел.
- Для делимости на 2, как было показано в пункте 1, переменная $y$ должна быть четным числом.
- Для делимости на 5, выражение $12x + 45y$ должно делиться на 5. Так как $45y$ всегда делится на 5, слагаемое $12x$ также должно делиться на 5. Поскольку 12 и 5 взаимно просты, это возможно только если $x$ делится на 5.

Принцип подбора пар в общем виде: переменная $x$ должна быть кратна 5 ($x=5k$, где $k$ — целое), а переменная $y$ должна быть четным числом ($y=2m$, где $m$ — целое).

Примеры:
- пара $(5, 2)$: $12 \cdot 5 + 45 \cdot 2 = 60 + 90 = 150$; $150$ делится на 2 и на 5.
- пара $(10, 0)$: $12 \cdot 10 + 45 \cdot 0 = 120 + 0 = 120$; $120$ делится на 2 и на 5.
- пара $(0, 4)$: $12 \cdot 0 + 45 \cdot 4 = 0 + 180 = 180$; $180$ делится на 2 и на 5.

Ответ: $(5, 2)$, $(10, 0)$, $(0, 4)$.

4) не делится ни на 2, ни на 5.

Чтобы значение выражения не делилось ни на 2, ни на 5, должны выполняться условия неделимости на каждое из этих чисел.
- Чтобы выражение не делилось на 2 (было нечетным), слагаемое $45y$ должно быть нечетным, так как $12x$ всегда четное. Это возможно только если $y$ — нечетное число.
- Чтобы выражение не делилось на 5, слагаемое $12x$ не должно делиться на 5, так как $45y$ всегда делится на 5. Это возможно только если $x$ не кратно 5.

Принцип подбора пар в общем виде: переменная $x$ не должна быть кратна 5 ($x \ne 5k$, где $k$ — целое), а переменная $y$ должна быть нечетным числом ($y=2m+1$, где $m$ — целое).

Примеры:
- пара $(1, 1)$: $12 \cdot 1 + 45 \cdot 1 = 12 + 45 = 57$; $57$ не делится ни на 2, ни на 5.
- пара $(2, 3)$: $12 \cdot 2 + 45 \cdot 3 = 24 + 135 = 159$; $159$ не делится ни на 2, ни на 5.
- пара $(-1, -1)$: $12 \cdot (-1) + 45 \cdot (-1) = -12 - 45 = -57$; $-57$ не делится ни на 2, ни на 5.

Ответ: $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(-1, -1)$.