Номер 546, страница 116, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

546 1) Записав число в виде $100a + b$, где $b$ – двузначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа, сформулируй и докажи признаки делимости на 4 и на 25.

2) Выпиши все двузначные числа, кратные 25.

3) Выпиши три нечётных числа, больших 1000 и кратных 25.

4) Выпиши все трёхзначные числа, состоящие из цифр 2, 4, 6 и кратные 4 (цифры в записи числа могут повторяться).

1)

Любое натуральное число $N$, имеющее более двух цифр, можно представить в виде суммы $N = 100a + b$, где $a$ — это число, образованное всеми цифрами числа $N$, кроме двух последних, а $b$ — это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$.

Признак делимости на 4:

Формулировка: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Доказательство: В выражении $100a + b$ слагаемое $100a$ всегда делится нацело на 4, так как множитель 100 делится на 4 ($100 = 4 \cdot 25$). Следовательно, $100a = 4 \cdot (25a)$, что очевидно кратно 4.
Согласно свойству делимости суммы, если одно из слагаемых ($100a$) делится на некоторое число (4), то вся сумма ($100a + b$) будет делиться на это число только в том случае, если второе слагаемое ($b$) также делится на него.

Таким образом, делимость числа $N$ на 4 полностью определяется делимостью на 4 числа $b$, которое образовано его последними двумя цифрами.

Признак делимости на 25:

Формулировка: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25. Это означает, что число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

Доказательство: Аналогично предыдущему доказательству, в выражении $100a + b$ слагаемое $100a$ всегда делится нацело на 25, так как множитель 100 делится на 25 ($100 = 25 \cdot 4$). Следовательно, $100a = 25 \cdot (4a)$, что очевидно кратно 25.
Сумма $100a + b$ будет делиться на 25 только в том случае, если второе слагаемое, $b$, также делится на 25.

Таким образом, делимость числа $N$ на 25 полностью определяется делимостью на 25 числа $b$, образованного его последними двумя цифрами.

Ответ: Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25 (т.е. 00, 25, 50 или 75).

2)

Для нахождения всех двузначных чисел, кратных 25, будем последовательно умножать 25 на натуральные числа, пока результат является двузначным числом.
$25 \cdot 1 = 25$
$25 \cdot 2 = 50$
$25 \cdot 3 = 75$
$25 \cdot 4 = 100$ (это уже трёхзначное число).
Следовательно, двузначными числами, кратными 25, являются 25, 50 и 75.
Ответ: 25, 50, 75.

3)

Требуется найти три нечётных числа, которые больше 1000 и кратны 25.
1. Из признака делимости на 25 следует, что число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.
2. Условие нечётности означает, что последняя цифра числа должна быть нечётной (1, 3, 5, 7, 9).
3. Объединяя эти два условия, получаем, что число должно оканчиваться на 25 или 75.
4. Число должно быть больше 1000.
Примеры таких чисел: 1025, 1075, 1125.
Ответ: 1025, 1075, 1125.

4)

Требуется выписать все трёхзначные числа, состоящие только из цифр 2, 4, 6 (цифры могут повторяться), которые кратны 4.
Согласно признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.
Сначала найдём все двузначные комбинации из цифр 2, 4, 6, которые делятся на 4:
- 22 (нет) - 24 (да, $24 : 4 = 6$) - 26 (нет) - 42 (нет) - 44 (да, $44 : 4 = 11$) - 46 (нет) - 62 (нет) - 64 (да, $64 : 4 = 16$) - 66 (нет)
Таким образом, искомые трёхзначные числа должны оканчиваться на 24, 44 или 64.
Первая цифра может быть любой из заданных: 2, 4 или 6. Составим все возможные числа:
- Оканчивающиеся на 24: 224, 424, 624.
- Оканчивающиеся на 44: 244, 444, 644.
- Оканчивающиеся на 64: 264, 464, 664.
Ответ: 224, 244, 264, 424, 444, 464, 624, 644, 664.