Номер 764, страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

С 764 Проверь, что значения выражения $n^2 + n + 41$ (трёхчлен Эйлера) при $n = 1, 2, 3, 4, 5$ являются простыми числами. При всех ли натуральных значениях $n$ будут получаться простые числа?

Первая часть задачи — проверить, что значения выражения $n^2 + n + 41$ при $n = 1, 2, 3, 4, 5$ являются простыми числами. Для этого последовательно подставим каждое значение $n$ в выражение:
При $n=1$: $1^2 + 1 + 41 = 1 + 1 + 41 = 43$. Число 43 является простым, так как делится только на 1 и на 43.
При $n=2$: $2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$. Число 47 является простым.
При $n=3$: $3^2 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53$. Число 53 является простым.
При $n=4$: $4^2 + 4 + 41 = 16 + 4 + 41 = 61$. Число 61 является простым.
При $n=5$: $5^2 + 5 + 41 = 25 + 5 + 41 = 71$. Число 71 является простым.
Проверка подтверждает, что для $n = 1, 2, 3, 4, 5$ значения выражения являются простыми числами.

Вторая часть задачи — ответить на вопрос: при всех ли натуральных значениях $n$ будут получаться простые числа? Это утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное $n$, при котором значение выражения будет составным числом (числом, имеющим делители кроме 1 и самого себя).
Рассмотрим $n = 41$. Подставим это значение в выражение:
$41^2 + 41 + 41$
Можно вынести общий множитель 41 за скобки:
$41 \cdot (41 + 1 + 1) = 41 \cdot 43$
Результат равен $1763$. Это число является составным, так как его делителями являются 41 и 43. Следовательно, утверждение о том, что трёхчлен Эйлера даёт простые числа при всех натуральных $n$, неверно.

Ответ: Для $n = 1, 2, 3, 4, 5$ значения выражения $n^2 + n + 41$ являются простыми числами (43, 47, 53, 61 и 71 соответственно). Однако не при всех натуральных значениях $n$ будут получаться простые числа. Например, при $n=41$ значение выражения равно $1763$, которое является составным числом ($1763 = 41 \cdot 43$).