Номер 767, страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

767 Витя нашёл такое наименьшее из возможных натуральных чисел, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а при умножении на 3 – точный куб. Какое это число?

Пусть искомое натуральное число — $N$. Согласно условиям задачи, должны выполняться два равенства:

1. $2 \cdot N = a^2$ (произведение является точным квадратом)

2. $3 \cdot N = b^3$ (произведение является точным кубом)

где $a$ и $b$ — некоторые натуральные числа.

Для решения задачи воспользуемся основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых множителей, и это представление единственно.

Число является точным квадратом, если в его разложении на простые множители все показатели степени чётные.

Число является точным кубом, если в его разложении на простые множители все показатели степени кратны 3.

Поскольку в условиях задачи фигурируют числа 2 и 3, представим число $N$ в виде $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа, а $k$ — произведение остальных простых множителей.

Рассмотрим первое условие: $2 \cdot N = 2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k$.

Это число должно быть точным квадратом. Следовательно, все показатели степени в его разложении должны быть чётными:

• Показатель степени у двойки, $(x+1)$, должен быть чётным. Это означает, что $x$ должен быть нечётным.
• Показатель степени у тройки, $y$, должен быть чётным.
• Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть чётными.

Рассмотрим второе условие: $3 \cdot N = 3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k$.

Это число должно быть точным кубом. Следовательно, все показатели степени в его разложении должны быть кратны 3:

• Показатель степени у двойки, $x$, должен быть кратен 3.
• Показатель степени у тройки, $(y+1)$, должен быть кратен 3.
• Все показатели степеней простых множителей в $k$ также должны быть кратны 3.

Теперь объединим условия и найдём наименьшие неотрицательные целые $x$ и $y$, удовлетворяющие им.

Для $x$:

• $x$ должен быть нечётным.
• $x$ должен быть кратен 3.

Наименьшее натуральное число, которое является одновременно нечётным и кратным 3, — это 3. Итак, $x=3$.

Для $y$:

• $y$ должен быть чётным.
• $(y+1)$ должен быть кратен 3.

Проверим наименьшие чётные значения для $y$:

• Если $y=0$, то $y+1=1$, что не кратно 3.
• Если $y=2$, то $y+1=3$, что кратно 3. Это значение подходит.

Итак, наименьшее подходящее значение $y=2$.

Для числа $k$:

Чтобы число $N$ было наименьшим, нужно взять наименьшее возможное $k$. Показатели степеней всех простых множителей в $k$ должны быть одновременно чётными и кратными 3, то есть кратными 6. Чтобы минимизировать $k$, мы берём все показатели равными 0, что даёт $k=1$.

Собираем число $N$:

$N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное число:

• $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Это точный квадрат.
• $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Это точный куб.

Условия выполняются. Поскольку мы использовали наименьшие возможные показатели степеней, найденное число является наименьшим.

Ответ: 72