Номер 773, страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

773 Какое из равенств неверно:

1) $(b : c) \cdot a = (b \cdot a) : c;$

2) $(b : c) \cdot a = (a : c) \cdot b;$

3) $(c : b) : a = c : (b : a);$

4) $(c : b) : a = (c : a) : b?$

Для того чтобы определить, какое из равенств неверно, проверим каждое из них, выполнив алгебраические преобразования. Знак деления $:$ будем представлять в виде дробной черты.

1) $(b:c) \cdot a = (b \cdot a):c$

Преобразуем левую часть равенства:

$(b:c) \cdot a = \frac{b}{c} \cdot a = \frac{b \cdot a}{c}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$(b \cdot a):c = \frac{b \cdot a}{c}$.

Левая и правая части равны, следовательно, равенство верное.
Ответ: равенство верное.

2) $(b:c) \cdot a = (a:c) \cdot b$

Преобразуем левую часть равенства:

$(b:c) \cdot a = \frac{b}{c} \cdot a = \frac{b \cdot a}{c}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$(a:c) \cdot b = \frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c}$.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($b \cdot a = a \cdot b$), левая и правая части равны. Равенство верное.
Ответ: равенство верное.

3) $(c:b):a = c:(b:a)$

Преобразуем левую часть равенства:

$(c:b):a = (\frac{c}{b}):a = \frac{c}{b} \cdot \frac{1}{a} = \frac{c}{b \cdot a}$.

Преобразуем правую часть равенства (деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь):

$c:(b:a) = c:(\frac{b}{a}) = c \cdot \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{b}$.

Сравним полученные выражения: $\frac{c}{b \cdot a}$ и $\frac{c \cdot a}{b}$. В общем случае эти выражения не равны.

Для проверки можно подставить произвольные числа, например, $a=2$, $b=3$, $c=12$:
Левая часть: $(12:3):2 = 4:2 = 2$.
Правая часть: $12:(3:2) = 12:1.5 = 8$.
Так как $2 \neq 8$, равенство неверное.
Ответ: равенство неверное.

4) $(c:b):a = (c:a):b$

Преобразуем левую часть равенства:

$(c:b):a = (\frac{c}{b}):a = \frac{c}{b \cdot a}$.

Преобразуем правую часть равенства:

$(c:a):b = (\frac{c}{a}):b = \frac{c}{a \cdot b}$.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($b \cdot a = a \cdot b$), левая и правая части равны. Равенство верное.
Ответ: равенство верное.

Таким образом, единственное неверное равенство — это равенство под номером 3.