Номер 770, страница 155, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

770 Пусть известны разложения натуральных чисел $a, b$ и $c$ на простые множители. Как получить разложение на простые множители чисел:

1) $(a \cdot b) : c$;

2) $(a : c) \cdot b$;

3) $(b : c) \cdot a$?

В основе решения лежит понимание того, как изменяется разложение на простые множители при умножении и делении чисел.

• При умножении двух чисел их разложения на простые множители объединяются (для каждого простого множителя их степени складываются).
• При делении одного числа на другое (если деление возможно нацело), из разложения делимого "удаляются" простые множители делителя (для каждого простого множителя из его степени в делимом вычитается его степень в делителе).

Исходя из этих правил, получим разложения для каждого выражения.

1) $(a \cdot b) : c$;

Для нахождения разложения на простые множители числа $(a \cdot b) : c$ сначала находят разложение произведения $a \cdot b$. Оно получается путем объединения всех простых множителей из разложений чисел $a$ и $b$. Затем, для нахождения разложения частного, из полученного разложения произведения $a \cdot b$ удаляют все простые множители, входящие в разложение числа $c$. Это означает, что для каждого простого множителя его итоговая степень будет равна его степени в разложении $a \cdot b$ минус его степень в разложении $c$.

Ответ: Объединить простые множители из разложений $a$ и $b$, а затем из полученного разложения удалить простые множители, входящие в разложение $c$.

2) $(a : c) \cdot b$;

Для нахождения разложения на простые множители числа $(a : c) \cdot b$ сначала находят разложение частного $a : c$. Поскольку по условию деление возможно, все простые множители из разложения $c$ содержатся в разложении $a$. Разложение частного получают, удалив из разложения $a$ все множители разложения $c$. То есть, для каждого простого множителя его степень в частном будет равна разности его степеней в $a$ и $c$. Затем, для нахождения итогового разложения, к разложению частного $a : c$ добавляют все простые множители из разложения числа $b$, объединяя их.

Ответ: Из разложения числа $a$ удалить простые множители, входящие в разложение $c$, а затем к результату добавить простые множители из разложения $b$.

3) $(b : c) \cdot a$?

Для нахождения разложения на простые множители числа $(b : c) \cdot a$ действия аналогичны предыдущему пункту. Сначала находят разложение частного $b : c$, удалив из разложения числа $b$ все простые множители, входящие в разложение числа $c$. Затем к полученному разложению частного $b : c$ добавляют все простые множители из разложения числа $a$, объединяя их.

Ответ: Из разложения числа $b$ удалить простые множители, входящие в разложение $c$, а затем к результату добавить простые множители из разложения $a$.