Номер 771, страница 155, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

771 Определи, какие из данных равенств истинны при любых натуральных значениях a, b и c, а для оставшихся приведи контрпримеры.

1) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);$

2) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b;$

3) $(a : b) \cdot c = (a \cdot c) : b;$

4) $(a : b) : c = a : (b : c).$

1) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Данное равенство является выражением сочетательного (ассоциативного) закона умножения. Этот закон гласит, что результат умножения нескольких сомножителей не зависит от порядка, в котором выполняется умножение, и он справедлив для всех натуральных чисел. Следовательно, данное равенство истинно при любых натуральных значениях $a$, $b$ и $c$.

Ответ: Равенство истинно.

2) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$

Данное равенство не является истинным для любых натуральных $a$, $b$ и $c$. Чтобы это показать, достаточно привести контрпример — набор таких натуральных чисел, для которых равенство не выполняется. В множестве натуральных чисел операция деления $x : y$ определена только в том случае, если $x$ делится на $y$ без остатка.

Рассмотрим контрпример: пусть $a=3$, $b=4$, $c=2$.
Левая часть равенства: $(a \cdot b) : c = (3 \cdot 4) : 2 = 12 : 2 = 6$.
Правая часть равенства: $(a : c) \cdot b = (3 : 2) \cdot 4$. Операция $3 : 2$ не определена в множестве натуральных чисел, так как 3 не делится на 2 нацело.
Поскольку левая часть равна 6, а правая часть не определена в натуральных числах, равенство не может быть истинным.

Ответ: Равенство не является истинным. Контрпример: $a=3, b=4, c=2$.

3) $(a : b) \cdot c = (a \cdot c) : b$

Данное равенство также не является истинным для любых натуральных $a$, $b$ и $c$. Приведем контрпример.

Пусть $a=3$, $b=2$, $c=4$.
Левая часть равенства: $(a : b) \cdot c = (3 : 2) \cdot 4$. Операция $3 : 2$ не определена в множестве натуральных чисел.
Правая часть равенства: $(a \cdot c) : b = (3 \cdot 4) : 2 = 12 : 2 = 6$.
Поскольку правая часть равна 6, а левая не определена в натуральных числах, равенство не выполняется.

Ответ: Равенство не является истинным. Контрпример: $a=3, b=2, c=4$.

4) $(a : b) : c = a : (b : c)$

Данное равенство не является истинным для любых натуральных $a$, $b$ и $c$. Операция деления не обладает свойством ассоциативности (сочетательности). Это можно показать на контрпримере, в котором все операции выполнимы в натуральных числах, но приводят к разным результатам.

Пусть $a=8$, $b=4$, $c=2$.
Левая часть равенства: $(a : b) : c = (8 : 4) : 2 = 2 : 2 = 1$.
Правая часть равенства: $a : (b : c) = 8 : (4 : 2) = 8 : 2 = 4$.
Поскольку $1 \neq 4$, равенство не выполняется.

Ответ: Равенство не является истинным. Контрпример: $a=8, b=4, c=2$.