Номер 765, страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

765 — Папа, а у тебя интересный возраст, — обратился к отцу сын.

— Чем же, сынок? — спросил отец.

— А вот смотри, если прибавить к твоему возрасту, 38 годам, число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим полный квадрат.

— Да, действительно, $38 + 83 = 121 = 11^2$, — согласился отец. — А вот теперь давай проверим, не случится ли подобное ещё через несколько лет, — предложил он сыну.

И они решили эту задачу. Реши её и ты.

Для решения задачи давайте представим возраст отца в виде двузначного числа. Пусть это число $\overline{ab}$, где $a$ – количество десятков, а $b$ – количество единиц. Алгебраически это число записывается как $10a + b$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{ba}$, или $10b + a$.

По условию, сумма этих двух чисел должна быть полным квадратом. Давайте обозначим этот квадрат как $k^2$. Составим и решим уравнение:

$(10a + b) + (10b + a) = k^2$

$11a + 11b = k^2$

$11(a + b) = k^2$

Из последнего уравнения видно, что произведение $11(a + b)$ является полным квадратом. Поскольку $11$ — простое число, для того чтобы всё выражение было квадратом, необходимо, чтобы сумма $(a + b)$ содержала множитель $11$. То есть $a + b$ должно быть кратно $11$.

Цифра $a$ (число десятков в возрасте) может принимать значения от $1$ до $9$. Цифра $b$ (число единиц) может принимать значения от $0$ до $9$. Поэтому их сумма $a + b$ может находиться в диапазоне от $1+0=1$ до $9+9=18$. Единственное число в этом диапазоне, кратное $11$, — это само число $11$. Таким образом, мы получаем условие: $a + b = 11$.

Все возрасты, удовлетворяющие этому свойству, это двузначные числа, сумма цифр которых равна $11$.

А вот теперь давай проверим, не случится ли подобное ещё через несколько лет

Перечислим все двузначные числа, у которых сумма цифр равна 11: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.

В момент, описанный в задаче, отцу 38 лет. Следующий возраст из нашего списка — 47 лет.

Чтобы найти, через сколько лет это произойдет, вычтем из следующего "интересного" возраста текущий возраст отца:

$47 - 38 = 9$ (лет)

Таким образом, такое же интересное свойство возраста повторится через 9 лет.

Проверим: через 9 лет отцу будет 47. Число с обратным порядком цифр — 74. Их сумма: $47 + 74 = 121$, что является полным квадратом ($11^2$).

Ответ: да, подобное случится через 9 лет.