Номер 772, страница 155, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

772 Разбей данные 6 чисел на группы таким образом, чтобы внутри каждой группы стояли числа, равные при любых натуральных значениях $a, b$ и $c$:

1) $(a : b) \cdot c;$

2) $(a : c) : b;$

3) $(a \cdot c) : b;$

4) $a : (b \cdot c);$

5) $a \cdot (b : c);$

6) $(a : b) : c.$

Для того чтобы разбить данные выражения на группы, необходимо упростить каждое из них, представив в виде алгебраической дроби, и затем сравнить полученные результаты. Заменим знак деления (:) на дробную черту, а знак умножения (·) на стандартное обозначение.

1) (a : b) · c

Преобразуем данное выражение: $(a : b) \cdot c = \frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b}$. Чтобы найти равные ему выражения, упростим остальные. Выражение 3) $(a \cdot c) : b$ также равно $\frac{a \cdot c}{b}$. Следовательно, выражения 1) и 3) образуют одну группу.

Ответ: Первая группа состоит из выражений 1) и 3).

2) (a : c) : b

Преобразуем данное выражение: $(a : c) : b = \frac{a}{c} : b = \frac{a}{c} \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b \cdot c}$. Сравнивая с другими, находим, что выражение 4) $a : (b \cdot c)$ равно $\frac{a}{b \cdot c}$, и выражение 6) $(a : b) : c$ равно $\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}$. Таким образом, выражения 2), 4) и 6) образуют вторую группу.

Ответ: Вторая группа состоит из выражений 2), 4) и 6).

3) (a · c) : b

Преобразуем данное выражение: $(a \cdot c) : b = \frac{a \cdot c}{b}$. Как мы уже установили при анализе выражения 1), оно равно выражению $(a : b) \cdot c$. Следовательно, выражения 1) и 3) принадлежат одной и той же первой группе.

Ответ: Первая группа состоит из выражений 1) и 3).

4) a : (b · c)

Преобразуем данное выражение: $a : (b \cdot c) = \frac{a}{b \cdot c}$. Как было показано при анализе выражения 2), оно равно выражениям $(a : c) : b$ и $(a : b) : c$. Таким образом, выражения 2), 4) и 6) принадлежат второй группе.

Ответ: Вторая группа состоит из выражений 2), 4) и 6).

5) a · (b : c)

Преобразуем данное выражение: $a \cdot (b : c) = a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$. Упрощенная форма этого выражения $\frac{a \cdot b}{c}$ уникальна и не совпадает ни с одной из других упрощенных форм ($\frac{a \cdot c}{b}$ или $\frac{a}{b \cdot c}$). Следовательно, это выражение образует отдельную, третью группу.

Ответ: Третья группа состоит только из выражения 5).

6) (a : b) : c

Преобразуем данное выражение: $(a : b) : c = \frac{a}{b} : c = \frac{a}{b \cdot c}$. Как мы выяснили ранее, это выражение равно выражениям 2) $(a : c) : b$ и 4) $a : (b \cdot c)$. Таким образом, выражения 2), 4) и 6) образуют вторую группу.

Ответ: Вторая группа состоит из выражений 2), 4) и 6).