Номер 775, страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

775. Докажи, что для любых натуральных чисел а и b верно равенство

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основной теоремой арифметики, которая утверждает, что любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Разложим их на простые множители. Пусть $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — это все простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$. Тогда разложения можно записать в виде:

$a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$

$b = p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k}$

где $\alpha_i \ge 0$ и $\beta_i \ge 0$ — это показатели степени для каждого простого множителя $p_i$. Если какой-то простой множитель отсутствует в разложении числа, его показатель степени равен 0.

Согласно правилам нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) через разложение на простые множители, имеем:

НОД — это произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим из показателей степени:

$\text{НОД}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}$

НОК — это произведение всех простых множителей из обоих разложений, взятых с наибольшим из показателей степени:

$\text{НОК}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\max(\alpha_2, \beta_2)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)}$

Теперь найдём произведение $\text{НОД}(a, b)$ и $\text{НОК}(a, b)$:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = (p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)}) \cdot (p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = (p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}) \cdot \ldots \cdot (p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} \cdot p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)})$

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1) + \max(\alpha_1, \beta_1)} \cdot \ldots \cdot p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k) + \max(\alpha_k, \beta_k)}$

Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это тождество к показателям степеней в нашем выражении:

$\min(\alpha_i, \beta_i) + \max(\alpha_i, \beta_i) = \alpha_i + \beta_i$

Тогда произведение НОД и НОК примет вид:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}$

Снова воспользуемся свойством степеней и разделим множители:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = (p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}) \cdot (p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k})$

Первое выражение в скобках является каноническим разложением числа $a$, а второе — числа $b$. Таким образом, мы получаем:

$\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$ доказано и является верным для любых натуральных чисел $a$ и $b$.