Номер 781, страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

781 Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители:

1) 336 и 252;

2) 38, 190 и 350;

3) 64, 72 и 288.

1) Для нахождения НОД и НОК чисел 336 и 252, сначала разложим их на простые множители.
Разложение числа 336 на простые множители:
$336 = 2 \cdot 168 = 2 \cdot 2 \cdot 84 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7$.
Разложение числа 252 на простые множители:
$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД), нужно выбрать общие простые множители в их наименьшей степени и перемножить их. Общими множителями для 336 и 252 являются 2, 3 и 7.
НОД(336, 252) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК), нужно выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях, в их наибольшей степени и перемножить их. В разложениях чисел 336 и 252 встречаются множители 2, 3 и 7.
НОК(336, 252) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 16 \cdot 9 \cdot 7 = 144 \cdot 7 = 1008$.
Ответ: НОД = 84, НОК = 1008.

2) Для нахождения НОД и НОК чисел 38, 190 и 350, разложим их на простые множители.
Разложение числа 38: $38 = 2 \cdot 19$.
Разложение числа 190: $190 = 10 \cdot 19 = 2 \cdot 5 \cdot 19$.
Разложение числа 350: $350 = 35 \cdot 10 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.
Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД), находим общие для всех трех чисел простые множители. Единственный общий множитель — это 2.
НОД(38, 190, 350) = $2$.
Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК), выписываем все простые множители из всех разложений в их наибольшей степени и перемножаем. Множители: 2, 5, 7, 19.
НОК(38, 190, 350) = $2^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 19^1 = 2 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 19 = 50 \cdot 133 = 6650$.
Ответ: НОД = 2, НОК = 6650.

3) Для нахождения НОД и НОК чисел 64, 72 и 288, разложим их на простые множители.
Разложение числа 64: $64 = 2^6$.
Разложение числа 72: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
Разложение числа 288: $288 = 2 \cdot 144 = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot 3)^2 = 2 \cdot (2^4 \cdot 3^2) = 2^5 \cdot 3^2$.
Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД), находим общие простые множители и берем их в наименьшей степени. Общий множитель — 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — 3.
НОД(64, 72, 288) = $2^3 = 8$.
Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК), берем все простые множители в их наибольшей степени. Множители: 2, 3. Наибольшая степень для 2 — это 6, для 3 — это 2.
НОК(64, 72, 288) = $2^6 \cdot 3^2 = 64 \cdot 9 = 576$.
Ответ: НОД = 8, НОК = 576.