Номер 784, страница 157, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

784 Переведи условие задачи на математический язык.

Поезд должен был пройти 840 км. Пройдя треть пути со скоростью, предусмотренной расписанием, он был на 1 ч задержан у семафора, и, чтобы прийти в пункт назначения по расписанию, ему пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был ехать поезд?

Для решения задачи сперва переведем ее условие на математический язык.

Пусть $v$ км/ч — это первоначальная (запланированная по расписанию) скорость поезда.

Весь путь составляет 840 км. Время, которое поезд должен был затратить на весь путь по расписанию, равно $T_{план} = \frac{840}{v}$ часов.

Поезд прошел треть пути, что составляет $\frac{1}{3} \cdot 840 = 280$ км, со скоростью $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{280}{v}$ ч.

После этого поезд был задержан на 1 час. Время задержки: $t_{задержка} = 1$ ч.

Оставшийся путь составляет $840 - 280 = 560$ км. Чтобы прибыть вовремя, поезду пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. Новая скорость: $v_{новая} = v + 10$ км/ч.

Время, затраченное на оставшийся участок пути: $t_2 = \frac{560}{v+10}$ ч.

Общее фактическое время, которое поезд провел в пути, складывается из времени движения на двух участках и времени задержки:

$T_{факт} = t_1 + t_{задержка} + t_2 = \frac{280}{v} + 1 + \frac{560}{v+10}$.

Поскольку поезд прибыл по расписанию, фактическое время в пути равно плановому: $T_{факт} = T_{план}$.

Составим уравнение:

$\frac{280}{v} + 1 + \frac{560}{v+10} = \frac{840}{v}$

Теперь решим это уравнение. Перенесем член $\frac{280}{v}$ в правую часть:

$1 + \frac{560}{v+10} = \frac{840}{v} - \frac{280}{v}$

$1 + \frac{560}{v+10} = \frac{560}{v}$

Перенесем дроби в одну сторону:

$1 = \frac{560}{v} - \frac{560}{v+10}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$1 = \frac{560(v+10) - 560v}{v(v+10)}$

Раскроем скобки в числителе:

$1 = \frac{560v + 5600 - 560v}{v^2 + 10v}$

$1 = \frac{5600}{v^2 + 10v}$

Отсюда получаем:

$v^2 + 10v = 5600$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 5600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -80$ не соответствует условию задачи. Следовательно, искомая скорость поезда, предусмотренная расписанием, равна 70 км/ч.

Ответ: 70 км/ч.