Номер 785, страница 157, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

785 Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы $x$ и $y$.

1) На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

2) В одной американской фирме каждый служащий является либо республиканцем, либо демократом. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

1)

Пусть $x$ — это первоначальное количество жёлтых одуванчиков, а $y$ — первоначальное количество белых одуванчиков.

По условию, всего на лужайке росло 35 одуванчиков. Составим первое уравнение:

$x + y = 35$

После того как 8 белых одуванчиков облетели, а 2 жёлтых побелели, количество жёлтых одуванчиков стало $x - 2$. Количество белых одуванчиков стало $y - 8 + 2 = y - 6$.

По условию, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Составим второе уравнение:

$x - 2 = 2(y - 6)$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 35 \\ x - 2 = 2(y - 6) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 35 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(35 - y) - 2 = 2(y - 6)$

$33 - y = 2y - 12$

Перенесём слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:

$33 + 12 = 2y + y$

$45 = 3y$

$y = 15$

Таким образом, изначально было 15 белых одуванчиков.

Теперь найдём количество жёлтых одуванчиков:

$x = 35 - 15 = 20$

Изначально было 20 жёлтых одуванчиков.

Проверка: Изначально $20+15=35$. После изменений: жёлтых $20-2=18$, белых $15-8+2=9$. $18 = 2 \cdot 9$. Всё верно.

Ответ: вначале на лужайке росло 15 белых и 20 жёлтых одуванчиков.

2)

Пусть $x$ — это первоначальное количество республиканцев, а $y$ — первоначальное количество демократов.

После того как один республиканец стал демократом, число республиканцев стало $x - 1$, а число демократов — $y + 1$. По условию, их стало поровну. Составим первое уравнение:

$x - 1 = y + 1$

Затем ещё три республиканца стали демократами. Теперь число республиканцев стало $(x - 1) - 3 = x - 4$, а число демократов — $(y + 1) + 3 = y + 4$.

По условию, демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Составим второе уравнение:

$y + 4 = 2(x - 4)$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x - 1 = y + 1 \\ y + 4 = 2(x - 4) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 1 + 1$

$x = y + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$y + 4 = 2((y + 2) - 4)$

$y + 4 = 2(y - 2)$

$y + 4 = 2y - 4$

$4 + 4 = 2y - y$

$y = 8$

Таким образом, изначально было 8 демократов.

Теперь найдём первоначальное количество республиканцев:

$x = 8 + 2 = 10$

Изначально было 10 республиканцев.

Общее число служащих в фирме равно сумме республиканцев и демократов:

$x + y = 10 + 8 = 18$

Проверка: Изначально 10 республиканцев и 8 демократов. 1 перешёл: стало 9 республиканцев и 9 демократов (поровну). Ещё 3 перешли: стало $9-3=6$ республиканцев и $9+3=12$ демократов. $12 = 2 \cdot 6$. Всё верно.

Ответ: в фирме 18 служащих.