Номер 766, страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

766 В примере $(**)^3 = ***9$ вместо звёздочек поставь цифры так, чтобы получилось верное равенство.

Обозначим искомое двузначное число как $N$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $N^3 = X$, где $N$ — двузначное число вида $**$, а $X$ — четырехзначное число вида $***9$.

1. Проанализируем последнюю цифру результата. Куб числа, $N^3$, оканчивается на 9. Это возможно только в том случае, если само число $N$ оканчивается на 9. Давайте проверим, на какую цифру оканчиваются кубы чисел от 0 до 9:

$0^3 = 0$ (оканчивается на 0)
$1^3 = 1$ (оканчивается на 1)
$2^3 = 8$ (оканчивается на 8)
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
$5^3 = 125$ (оканчивается на 5)
$6^3 = 216$ (оканчивается на 6)
$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)
$8^3 = 512$ (оканчивается на 2)
$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)

Как мы видим, только куб числа, оканчивающегося на 9, также оканчивается на 9. Следовательно, искомое двузначное число $N$ должно оканчиваться на 9. Возможные варианты для $N$: 19, 29, 39, 49 и так далее.

2. Теперь проанализируем величину числа. Результат возведения в куб — это четырехзначное число ($***9$). Это означает, что $1000 \le N^3 \le 9999$.

Найдем, в каких пределах должно находиться само число $N$. Для этого извлечем кубический корень из границ диапазона:

$\sqrt[3]{1000} \le N \le \sqrt[3]{9999}$

Мы знаем, что $10^3 = 1000$. Значит, $N$ должно быть не меньше 10.

Чтобы найти верхнюю границу, оценим кубы чисел, больших 10.

$20^3 = 8000$ (это четырехзначное число).

$21^3 = 21 \times 21 \times 21 = 441 \times 21 = 9261$ (это четырехзначное число).

$22^3 = 22 \times 22 \times 22 = 484 \times 22 = 10648$ (это уже пятизначное число).

Таким образом, чтобы куб числа был четырехзначным, само число $N$ должно быть в диапазоне от 10 до 21 включительно: $10 \le N \le 21$.

3. Совместим оба условия.

Из первого пункта мы знаем, что число $N$ должно оканчиваться на 9.

Из второго пункта мы знаем, что $10 \le N \le 21$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 19.

4. Проверим наше предположение. Возведем 19 в куб:

$19^3 = 19 \times 19 \times 19 = 361 \times 19 = 6859$.

Результат 6859 является четырехзначным числом и оканчивается на 9. Следовательно, наше решение верное.

Заменяем звездочки в исходном примере:

$(19)^3 = 6859$

Ответ: $(19)^3 = 6859$.