Номер 798, страница 158, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 798* Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое задание: разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так, чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми числами. Если принц выполнит задание, то прекрасная Турандот станет его женой, а если нет – ему отрубят голову. Помоги принцу справиться с заданием!

150

Чтобы помочь принцу Калафу, необходимо решить задачу в несколько шагов: сначала найти общую сумму очков всех косточек домино, затем определить, какие четыре последовательных простых числа в сумме дают это значение, и в конце показать, как именно можно разложить косточки.

1. Находим общую сумму очков.

Стандартный набор домино состоит из 28 косточек. На каждой половинке косточки могут быть значения от 0 до 6. Чтобы найти общую сумму очков, можно подсчитать, сколько раз встречается каждое значение. Каждое число от 0 до 6 встречается на косточках 8 раз. Таким образом, общая сумма очков всех 28 косточек равна:

$8 \times (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 8 \times 21 = 168$.

Следовательно, суммы очков в четырех кучках должны в итоге дать 168.

2. Находим четыре последовательных простых числа.

Пусть искомые четыре последовательных простых числа это $p_1, p_2, p_3, p_4$. Согласно условию, их сумма должна быть равна 168:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 168$.

Чтобы найти эти числа, можно найти их примерное среднее значение: $168 / 4 = 42$. Значит, нужно искать простые числа в окрестности 42. Выпишем простые числа около этого значения: ..., 31, 37, 41, 43, 47, 53, ...

Проверим четверку последовательных простых чисел, включающую 41 и 43:

$37 + 41 + 43 + 47 = 168$.

Сумма совпала. Таким образом, суммы очков в четырех кучках должны быть равны 37, 41, 43 и 47.

3. Разделяем косточки домино на кучки.

Задача выполнима. Принцу Калафу следует разложить 28 косточек на четыре кучки следующим образом (в скобках указаны очки на половинках косточки):

Кучка 1 (сумма очков 37, 10 косточек): (0,0), (0,3), (0,4), (0,5), (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (3,3).

Кучка 2 (сумма очков 41, 7 косточек): (0,2), (0,6), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (3,4).

Кучка 3 (сумма очков 43, 6 косточек): (0,1), (2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5).

Кучка 4 (сумма очков 47, 5 косточек): (1,3), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6).

Таким образом, все 28 косточек распределены по четырем кучкам, и суммы очков в них являются четырьмя последовательными простыми числами.

Ответ: Задание принцессы Турандот выполнимо. Принц должен разложить косточки на четыре кучки с суммами очков 37, 41, 43 и 47. Один из возможных вариантов разложения приведен выше. Принц Калаф спасен и сможет жениться на принцессе.