Номер 799, страница 159, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

799 Докажи или опровергни утверждение: «Разность между трёхзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9».

Для того чтобы доказать или опровергнуть данное утверждение, представим произвольное трёхзначное число в общем виде. Любое трёхзначное число можно записать как $\overline{abc}$, где $a$ — это цифра в разряде сотен, $b$ — цифра в разряде десятков, а $c$ — цифра в разряде единиц. При этом $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ и $c$ — целыми числами от 0 до 9.

Значение этого числа в десятичной системе счисления можно выразить формулой: $100a + 10b + c$.

Сумма его цифр равна $a + b + c$.

Теперь найдём разность между числом и суммой его цифр, вычтя из значения числа сумму его цифр:

$(100a + 10b + c) - (a + b + c)$.

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:

$100a + 10b + c - a - b - c = (100a - a) + (10b - b) + (c - c) = 99a + 9b$.

В итоговом выражении $99a + 9b$ можно вынести за скобки общий множитель 9:

$9(11a + b)$.

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), то выражение в скобках $(11a + b)$ также является целым числом. Это означает, что разность между любым трёхзначным числом и суммой его цифр всегда можно представить в виде произведения числа 9 и некоторого целого числа. Согласно определению делимости, такое число всегда делится на 9 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.