Номер 800, страница 159, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

800 Задача из арабских сказок «1001 ночь» (ночь 458-я)

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас, сидящих тогда на ветвях, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество голубей, которые сидели на ветвях, а $y$ — количество голубей, которые расположились под деревом.

Проанализируем два условия, которые голуби на ветвях сообщили голубям внизу.

1. «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас, сидящих тогда на ветвях».
В этом случае количество голубей на ветвях стало бы $x+1$, а под деревом — $y-1$. Условие, что голубей под деревом стало бы втрое меньше, чем на ветвях, означает, что количество голубей на ветвях в 3 раза больше, чем под деревом. Запишем это в виде уравнения:
$x+1 = 3(y-1)$

2. «а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
В этом случае количество голубей на ветвях стало бы $x-1$, а под деревом — $y+1$. Равенство их числа дает нам второе уравнение:
$x-1 = y+1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x+1 = 3(y-1) \\ x-1 = y+1 \end{cases} $
Решим эту систему. Из второго уравнения легко выразить $x$ через $y$:
$x = y+1+1$
$x = y+2$
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:
$(y+2)+1 = 3(y-1)$
$y+3 = 3y-3$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$3+3 = 3y-y$
$6 = 2y$
$y = 3$
Мы нашли, что под деревом было 3 голубя. Теперь найдем количество голубей на ветвях, используя выражение $x=y+2$:
$x = 3+2$
$x = 5$
Таким образом, изначально на ветвях сидело 5 голубей, а под деревом — 3 голубя.
Ответ: на ветвях сидело 5 голубей и 3 голубя под деревом.