Номер 804, страница 159, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

804 Вычисли устно:

1) $\text{НОД}(99, 100)$;

2) $\text{НОК}(99, 100)$;

3) $\text{НОД}(9, 207207207)$;

4) $\text{НОК}(9, 207207207)$.

1) НОД (99, 100);

НОД (Наибольший Общий Делитель) — это самое большое натуральное число, на которое без остатка делятся оба заданных числа. Числа 99 и 100 являются последовательными натуральными числами. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1. Это следует из того, что если число $d$ делит $n$ и $n+1$, то оно должно делить и их разность $(n+1) - n = 1$. Единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1.
Ответ: 1

2) НОК (99, 100);

НОК (Наименьшее Общее Кратное) — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из заданных чисел без остатка. Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$.
Поскольку числа 99 и 100 взаимно простые (как показано в предыдущем пункте), их $НОД(99, 100) = 1$.
Следовательно, наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению: $НОК(99, 100) = 99 \cdot 100 = 9900$.
Ответ: 9900

3) НОД (9, 207 207 207);

Чтобы найти наибольший общий делитель чисел 9 и 207 207 207, воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Найдем сумму цифр числа 207 207 207:
$2 + 0 + 7 + 2 + 0 + 7 + 2 + 0 + 7 = (2+7) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Сумма цифр, равная 27, делится на 9 ($27 : 9 = 3$). Следовательно, и само число 207 207 207 делится на 9.
Поскольку одно из чисел (207 207 207) делится на другое (9), их наибольшим общим делителем является меньшее из этих чисел, то есть 9.
Ответ: 9

4) НОК (9, 207 207 207).

Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно использовать свойство: если одно число делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел.
Как было установлено в предыдущем пункте, число 207 207 207 делится на 9.
Следовательно, наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
$НОК(9, 207 207 207) = 207 207 207$.
Ответ: 207 207 207